麻布中学校02年第2問(解答・解説)

(1)
(3で割ると1余る2の倍数(□とします))

割り切れないより、割り切れるほうが楽ですね。なんとか割り切れるようにならないかなという発想が大切です。
□+2は、3と2で割り切れます。
言い換えると、□+2は、3×2(3と2の最小公倍数)の倍数となります。
また、□は、1から1000までの整数の中にあるので、
  3≦□+2≦1002
となります。
結局、3以上1002以下の6(3×2)の倍数の個数を求めなさいということですね。
  [1002/(3×2)]−[2/(3×2)] ←うまく約分できますね。
 =167−0=167個

なお、[○]は、○を超えない最大の整数を表すものとします。
例えば、[3.14]=3、[2]=2となります。

下線部分に気付かなくても、1あたり、1000あたりの3で割ると1余る数を書き出して、2の倍数を見つければなんとかなります。その際、問題文の「1や1000は3で割ると1余る整数です。」が役立ちます。
  1、、・・・
  1000
  求める個数
 =(1000−4)/(3×2)+1 ←3で割ると1余る数は、周期3で現れ、2の倍数は周期2で現れるので、3で割ると1余る2の倍数は、周期6(3×2)で現れます。
 =167個
問題文の「1や1000は3で割ると1余る整数です」の意味を考えると、この解法が出題者の意図したものかもしれませんね。

(3で割ると1余る5の倍数(△とします))

先ほどと全く同様ですね。
△+5は、3と5で割り切れます。
言い換えると、△+5は、3×5(3と5の最小公倍数)の倍数となります。
また、△は、1から1000までの整数の中にあるので、
  6≦△+5≦1005
となります。
結局、6以上1005以下の15(3×5)の倍数の個数を求めなさいということですね。
  [1005/(3×5)]−[5/(3×5)] ←うまく約分できますね。
 =67−0=67個

下線部分に気付かなくても、1あたり、1000あたりの3で割ると1余る数を書き出して、5の倍数を見つければなんとかなります。その際、問題文の「1や1000は3で割ると1余る整数です。」が役立ちます。
  1、4、7、10、・・・
  1000
  求める個数
 =(1000−10)/(3×5)+1 ←3で割ると1余る数は、周期3で現れ、5の倍数は周期5で現れるので、3で割ると1余る5の倍数は、周期15(3×5)で現れます。
 =67個

(2)

(1)が利用できますね。
まず、1から1000までの整数の中で、3で割ると1余る数の個数を求めます。
問題文に「1や1000は3で割ると1余る整数です。」と書いてあるので、これを利用します。
  (1000−1)/3+1=334個
となります。
もちろん、(1)と同様に、3で割ると1余る数に2をたしたものが3の倍数となることを利用してもいいでしょう。
次に、1から1000までの整数の中で、3で割ると1余り、2の倍数でしかも5の倍数、つまり、10(2と5の最小公倍数)の倍数となる数の個数を求めます。
先ほどと全く同様ですね。
▽+20は、3と10で割り切れます(▽は、3で割ると1余る10の倍数を表します)。
言い換えると、▽+20は、30(3と10の最小公倍数)の倍数となります。
また、▽は、1から1000までの整数の中にあるので、
  21≦▽+20≦1020
となります。
結局、21以上1020以下の30(3×10)の倍数の個数を求めればいいですね。
  [1020/(30)]−[20/30] ←うまく約分できますね。
 =34−0=34個

下線部分に気付かなくても、1あたり、1000あたりの3で割ると1余る数を書き出して、10の倍数を見つければなんとかなります。その際、問題文の「1や1000は3で割ると1余る整数です。」が役立ちます。
  1、4、7、10、・・・
  1000
  求める個数
 =(1000−10)/(30)+1
 =34個

さて、これで答えを求める準備が整いました。
今、
  U=1から1000までの整数の中で、3で割ると1余る数の個数
  A=1から1000までの整数の中で、3で割ると1余る2の倍数の個数
  B=1から1000までの整数の中で、3で割ると1余る5の倍数の個数
  C=1から1000までの整数の中で、3で割ると1余る10の倍数(2の倍数で、しかも5の倍数)の個数
とします。
ヴェン図(ベン図)
求める個数は、
  U−A−B+C ←U−(A+B−C)としてもいいでしょう。
 =334−167−67+34
 =134個
となります。

(別解)

倍数・余りの周期性に注目して書き出します。
  3で割ると1余る整数→周期3
  2の倍数→周期2
  5の倍数→周期5
周期が一致するのは、30(3と2と5の最小公倍数)だから、30だけ調べればいいですね。(30以降は同様の繰り返しになります。)
  1000÷30
 =33・・・余り10
だから、33周期分と10個分になります。
ここから書き出して調べます。横に6個ずつ並べるのがポイントです。
麻布中学校2002年算数第1問(解答・解説)の図1
2で割った余りが同じ数(偶数、奇数)、3で割った余りが同じ数(3の倍数、3で割ると1余る数、3で割ると2余る数)、6で割った余りが同じ数(6の倍数、6で割ると1余る数、6で割ると2余る数、・・・)がそれぞれ縦方向に現れ、5で割った余りが同じ数(5の倍数、5で割ると1余る数、5で割ると2余る数、・・・)が左斜め下方向に現れるので、わかりやすいですね。(因みに、7で割った余りが同じ数(7の倍数など)は右斜め下方向に現れます。)
3で割ると1余る数は、左から1番目と4番目の縦方向(図の矢印方向)だけですね。
左から1番目と4番目の縦方向のうち、2の倍数となるのは、左から4番目だけですね。
3で割ると1余る2の倍数は、1周期(水色で囲んだ部分)に5個あります。最後(34周期目)の半端10個には2個含まれています。(1周期目の1〜10の4と10に相当する数になります)。
以上より、3で割ると1余る2の倍数の個数は
  5×33+2
 =167個・・・(1)の前半の答え
となります。

麻布中学校2002年算数第1問(解答・解説)の図2
3で割ると1余る数が、左から1番目と4番目の縦方向(右図の矢印方向)だけなのは、先ほどと同じです。
5の倍数は、図のように右斜め方向に現れます。
3で割ると1余る5の倍数は、1周期に2個あります。最後(34周期目)の半端10個には1個含まれています。(1周期目の1〜10の10に相当する数になります)。
以上より、3で割ると1余る5の倍数の個数は
  2×33+1
 =67個・・・(1)の後半の答え
となります。



麻布中学校2002年算数第1問(解答・解説)の図3
3で割ると1余る数が、左から1番目と4番目の縦方向(図の矢印方向)だけなのは、先ほどと同じです。
2の倍数と5の倍数を取り除きます。取り除き方は、上の説明を見ればわかりますね。
3で割ると1余る整数で、5の倍数でも2の倍数でない整数は、1周期に4個あります。最後(34周期目)の半端10個には2個含まれています。(1周期目の1〜10の1と7に相当する数になります。)
以上より、3で割ると1余る整数で、5の倍数でも2の倍数でない整数の個数は
  4×33+2
 =134個・・・(2)の答え
となります。


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