麻布中学校２００２年算数第２問（解答・解説）
（１）
（３で割ると１余る２の倍数（□とします））
割り切れないより、割り切れるほうが楽ですね。なんとか割り切れるようにならないかなという発想が大切です。
□＋２は、３と２で割り切れます。
言い換えると、□＋２は、３×２（３と２の最小公倍数）の倍数となります。
また、□は、１から１０００までの整数の中にあるので、
３≦□＋２≦１００２
となります。
結局、３以上１００２以下の６（３×２）の倍数の個数を求めなさいということですね。
[１００２/（３×２）]−[２/（３×２）] ←うまく約分できますね。
＝１６７−０＝１６７個
なお、［○］は、○を超えない最大の整数を表すものとします。
例えば、[３．１４]＝３、[２]＝２となります。
下線部分に気付かなくても、１あたり、１０００あたりの３で割ると１余る数を書き出して、２の倍数を見つければなんとかなります。その際、問題文の「１や１０００は３で割ると１余る整数です。」が役立ちます。
１、４、・・・
１０００
求める個数
＝（１０００−４）/（３×２）＋１ ←３で割ると１余る数は、周期３で現れ、２の倍数は周期２で現れるので、３で割ると１余る２の倍数は、周期６（３×２）で現れます。
＝１６７個
問題文の「１や１０００は３で割ると１余る整数です」の意味を考えると、この解法が出題者の意図したものかもしれませんね。
（３で割ると１余る５の倍数（△とします））
先ほどと全く同様ですね。
△＋５は、３と５で割り切れます。
言い換えると、△＋５は、３×５（３と５の最小公倍数）の倍数となります。
また、△は、１から１０００までの整数の中にあるので、
６≦△＋５≦１００５
となります。
結局、６以上１００５以下の１５（３×５）の倍数の個数を求めなさいということですね。
[１００５/（３×５）]−[５/（３×５）] ←うまく約分できますね。
＝６７−０＝６７個
下線部分に気付かなくても、１あたり、１０００あたりの３で割ると１余る数を書き出して、５の倍数を見つければなんとかなります。その際、問題文の「１や１０００は３で割ると１余る整数です。」が役立ちます。
１、４、７、１０、・・・
１０００
求める個数
＝（１０００−１０）/（３×５）＋１ ←３で割ると１余る数は、周期３で現れ、５の倍数は周期５で現れるので、３で割ると１余る５の倍数は、周期１５（３×５）で現れます。
＝６７個
（２）
（１）が利用できますね。
まず、１から１０００までの整数の中で、３で割ると１余る数の個数を求めます。
問題文に「１や１０００は３で割ると１余る整数です。」と書いてあるので、これを利用します。
（１０００−１）/３＋１＝３３４個
となります。
もちろん、（１）と同様に、３で割ると１余る数に２をたしたものが３の倍数となることを利用してもいいでしょう。
次に、１から１０００までの整数の中で、３で割ると１余り、２の倍数でしかも５の倍数、つまり、１０（２と５の最小公倍数）の倍数となる数の個数を求めます。
先ほどと全く同様ですね。
▽＋２０は、３と１０で割り切れます（▽は、３で割ると１余る１０の倍数を表します）。
言い換えると、▽＋２０は、３０（３と１０の最小公倍数）の倍数となります。
また、▽は、１から１０００までの整数の中にあるので、
２１≦▽＋２０≦１０２０
となります。
結局、２１以上１０２０以下の３０（３×１０）の倍数の個数を求めればいいですね。
[１０２０/（３０）]−[２０/３０] ←うまく約分できますね。
＝３４−０＝３４個
下線部分に気付かなくても、１あたり、１０００あたりの３で割ると１余る数を書き出して、１０の倍数を見つければなんとかなります。その際、問題文の「１や１０００は３で割ると１余る整数です。」が役立ちます。
１、４、７、１０、・・・
１０００
求める個数
＝（１０００−１０）/（３０）＋１
＝３４個
さて、これで答えを求める準備が整いました。
今、
Ｕ＝１から１０００までの整数の中で、３で割ると１余る数の個数
Ａ＝１から１０００までの整数の中で、３で割ると１余る２の倍数の個数
Ｂ＝１から１０００までの整数の中で、３で割ると１余る５の倍数の個数
Ｃ＝１から１０００までの整数の中で、３で割ると１余る１０の倍数（２の倍数で、しかも５の倍数）の個数
とします。
求める個数は、
Ｕ−Ａ−Ｂ＋Ｃ ←Ｕ−（Ａ＋Ｂ−Ｃ）としてもいいでしょう。
＝３３４−１６７−６７＋３４
＝１３４個
となります。
（別解）
倍数・余りの周期性に注目して書き出します。
３で割ると１余る整数→周期３
２の倍数→周期２
５の倍数→周期５
周期が一致するのは、３０（３と２と５の最小公倍数）だから、３０だけ調べればいいですね。（３０以降は同様の繰り返しになります。）
１０００÷３０
＝３３・・・余り１０
だから、３３周期分と１０個分になります。
ここから書き出して調べます。横に６個ずつ並べるのがポイントです。
２で割った余りが同じ数（偶数、奇数）、３で割った余りが同じ数（３の倍数、３で割ると１余る数、３で割ると２余る数）、６で割った余りが同じ数（６の倍数、６で割ると１余る数、６で割ると２余る数、・・・）がそれぞれ縦方向に現れ、５で割った余りが同じ数（５の倍数、５で割ると１余る数、５で割ると２余る数、・・・）が左斜め下方向に現れるので、わかりやすいですね。（因みに、７で割った余りが同じ数（７の倍数など）は右斜め下方向に現れます。）
３で割ると１余る数は、左から１番目と４番目の縦方向（図の矢印方向）だけですね。
左から１番目と４番目の縦方向のうち、２の倍数となるのは、左から４番目だけですね。
３で割ると１余る２の倍数は、１周期（水色で囲んだ部分）に５個あります。最後（３４周期目）の半端１０個には２個含まれています。（１周期目の１〜１０の４と１０に相当する数になります）。
以上より、３で割ると１余る２の倍数の個数は
５×３３＋２
＝１６７個・・・（１）の前半の答え
となります。
３で割ると１余る数が、左から１番目と４番目の縦方向（右図の矢印方向）だけなのは、先ほどと同じです。
５の倍数は、図のように右斜め方向に現れます。
３で割ると１余る５の倍数は、１周期に２個あります。最後（３４周期目）の半端１０個には１個含まれています。（１周期目の１〜１０の１０に相当する数になります）。
以上より、３で割ると１余る５の倍数の個数は
２×３３＋１
＝６７個・・・（１）の後半の答え
となります。
３で割ると１余る数が、左から１番目と４番目の縦方向（図の矢印方向）だけなのは、先ほどと同じです。
２の倍数と５の倍数を取り除きます。取り除き方は、上の説明を見ればわかりますね。
３で割ると１余る整数で、５の倍数でも２の倍数でない整数は、１周期に４個あります。最後（３４周期目）の半端１０個には２個含まれています。（１周期目の１〜１０の１と７に相当する数になります。）
以上より、３で割ると１余る整数で、５の倍数でも２の倍数でない整数の個数は
４×３３＋２
＝１３４個・・・（２）の答え
となります。
