麻布中学校2019年算数第4問(解答・解説)


3の倍数と7の倍数は21ごとに同様の繰り返しになるので、3,6,7,9,12,14,15,18,21の9個を1セットにして考えます。
 @ 3  6 7  9 12 14 15 18 21
 A 24 27 28 30 33 35 36 39 42
 B 45 48 49 51 54 56 57 60 63
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(1)
1番目から9番目までの数の和は
  3+6+7+9+12+14+15+18+21
 =0+3+6+7+9+12+14+15+18+21 倍数の対称性理論(周期きっちりの場合、倍数(倍数でないもの)が対称に並んでいること)を利用して求めるために、0を加えました。0を加えると個数は1増えますが、和は変わりませんね。
 =(0+21)×5
 =105
となります。
(2)
2番目から10番目までの9個の数の和は、1番目から9番目までの9個の数の和より、21×1増えます。 ←3が24に変わったからです。
3番目から11番目までの9個の数の和は、1番目から9番目までの9個の数の和より、21×2増えます。 ←3が24に、6が27変わったからです。以下同様です。
4番目から10番目までの9個の数の和は、1番目から9番目までの9個の数の和より、21×3増えます。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
□番目から(□+8)番目までの9個の数の和は、1番目から9番目までの9個の数の和より、21×(□−1)増えます。 ←番目の数と21が増える個数をうまく対応させます。 規則性の問題では、「小さな例で実験⇒観察⇒規則性の把握⇒一般化」というのが基本的な手順になります。
したがって、77番目から85番目までの9個の数の和は
  105+21×(77−1)
 =1701
となります。
(3)
99番目の数は
  21×11
 =231
となります。
1番目から99番目までの99個の数の和は
  3+6+7+・・・+231
 =0+3+6+7+・・・+231 倍数の対称性理論を利用して求めるために、0を加えました。0を加えると個数は1増えますが、和は変わりませんね。
 =(0+231)×50
 =11550
となります。
(別解)
1セットごとの和が等差数列になっていることに着目して和を求めます。
@の和は105
Aの和は105+21×9
Bの和は105+21×9×2
・・・・・・・・・・・・・・・
Jの和は105+21×9×10
だから、求める和は
  (105+105+21×9×10)×11×1/2 ←等差数列の和の公式を利用しました。
 =11550
となります。
(4)
(2)と同じようにして解くことができます。
2番目から100番目までの99個の数の和は、1番目から99番目までの99個の数の和より、231×1増えます。 ←3が3+231に変わったからです。
3番目から101番目までの99個の数の和は、1番目から99番目までの99個の数の和より、231×2増えます。 ←3、6がそれぞれ3+231、6+231に変わったからです。以下同様です。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
□番目から(□+98)番目までの99個の数の和は、1番目から99番目までの99個の数の和より、231×(□−1)増えます。
与えられた条件より、11550+231×(□−1)=128205となります。
あとは逆算するだけですね。
  □
 =(128205−11550)/231+1
 =506
となるから、答えは506番目となります。



中学受験・算数の森TOPページへ