東京大学2005年前期文科数学第2問・理科数学第4問(解答・解説)


  a2−a
 =a×(a−1) ←分配法則の逆を利用しました。
aとa−1は連続2整数で、aが奇数だから、a−1は偶数となります。
  10000
 =2×5 ←2×2×2×2×5×5×5×5のことです。
連続2整数の中に5の倍数が2個以上含まれることはないから、一方だけが5×5×5×5=625の倍数となります。
16の倍数かつ625の倍数が3以上9999以下にないのは明らかですね。
aが奇数であることから、aが625の倍数(ただし、625×奇数)となり、偶数であるa−1が2×2×2×2=16の倍数(ただし、16×(5で割り切れない数))となります。
結局、aは625の倍数で、16で割ると1余る数となりますね。
  625
 =16×39+1(16で割ると1余る数)
だから、a=625が答えの1つとなります。 ←a−1が625でも16でも割り切れる数、つまり10000の倍数となることに注目してもよいでしょう。
625の倍数は625周期、16で割ると1余る数は16周期で現れるから、625の倍数で、16で割ると1余る数は625×16=10000周期で現れます。
したがって、3以上9999以下の範囲には1つしかないので、a=625だけが答えになります。



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