北海道大学２００２年前期理系・文系数学第２問（解答・解説）
（１）
０に関しては、最高位に使えないという制限があるので、０を含む場合と含まない場合に分けて考えます。
（あ）０を含む場合
まず、２種類の数字を選びますが、０を選ぶことは確定しているので、残りの数字の選び方を考えればよく、９通りあります。
次に、選んだ２種類の数字を条件を満たすように並べます。
千の位は１通りあり、百の位、十の位、一の位がそれぞれ２通りありますが、すべての位の数字が同じ場合は条件を満たさないので、
１×２×２×２−１ ←すべての位が同じものは、０以外の数字のみの１通りありますね。
＝７通り
あります。
したがって、この場合は
９×７ ←「同時に起こる⇒積の法則」
＝６３個
あります。
（い）０を含まない場合
まず、２種類の数字を選びますが、１〜９の９種類の数字から異なる２種類の数字を選べばよいので、
（９×８）/（２×１） ←組み合わせですね。
＝３６通り
あります。
次に、選んだ２種類の数字を条件を満たすように並べます。
各位はすべて２通りありますが、すべての位の数字が同じ場合は条件を満たさないので、
２×２×２×２−（１＋１）
＝１４通り
あります。
したがって、この場合は
３６×１４ ←「同時に起こる⇒積の法則」
＝５０４個
あります。
したがって、求める個数は
６３＋５０４ ←「同時に起こらない⇒和の法則」
＝５６７個
となります。
（２）
（１）を一般化するだけです。
以下、２○は２を○回かけ合わせた数のことです。 ←面積や体積のときに使われている記号と同じことです。
ｎ＝１のとき、条件を満たすものは明らかにありませんね。
このときは、０個になります。
以下、ｎ≧２で考えます。
（あ）０を含む場合
まず、２種類の数字を選びますが、０を選ぶことは確定しているので、残りの数字の選び方を考えればよく、９通りあります。
次に、選んだ２種類の数字を条件を満たすように並べます。
最高位は１通りあり、それ以外の位（（ｎ−１）個あります）がそれぞれ２通りありますが、すべての位の数字が同じ場合は条件を満たさないので、
１×２ｎ−１−１
＝２ｎ−１−１（通り）
あります。
したがって、この場合は９×（２ｎ−１−１）個あります。
（い）０を含まない場合
まず、２種類の数字を選びますが、１〜９の９種類の数字から異なる２種類の数字を選べばよいので、
（９×８）/（２×１）
＝３６通り
あります。
次に、選んだ２種類の数字を条件を満たすように並べます。
各位（ｎ個あります）はそれぞれ２通りありますが、すべての位の数字が同じ場合は条件を満たさないので、
２ｎ−（１＋１）
＝２ｎ−２（通り）
あります。
したがって、この場合は３６×（２ｎ−２）個あります。
したがって、求める個数は
９×（２ｎ−１−１）＋３６×（２ｎ−２）
＝９×２ｎ−１−９＋３６×２ｎ−７２ ←分配法則を利用しました。
＝９×２ｎ−１＋３６×２×２ｎ−１−８１ ←２を１個取り出しました。
＝９×２ｎ−１＋７２×２ｎ−１−８１
＝８１×２ｎ−１−８１ ←分配法則の逆を利用しました。
＝８１×（２ｎ−１−１）個 ←分配法則の逆を利用しました。
となります。
この式はｎ＝１のときも満たすので、答えは８１×（２ｎ−１−１）個となります。
最後のところで２０＝１ということを利用していますが、２１＝２、２２＝４、２３＝８、…というように、指数（右上の小さな数字）が１大きくなるごとに２倍になっている、言い換えれば、指数が１小さくなるごとに１/２倍になっていることから、２０＝２×１/２＝１となることがわかるでしょう。