京都大学2009年理系甲数学第5問・文系第数学5問(解答・解説)


一見すると、文字が多くて抽象的でわかりにくいですが、例えば、p=3、n=2としてみると、(3)!=9!、つまり1から9までの整数を掛け合わせたものは、3で何回割り切れますがという、中学入試でよく出されている問題と同じだとわかりますね。 抽象的でわかりにくい場合、具体化することが大切です。
1からpnまでの整数の中には、pの倍数は、pn÷p=pn-1個あります。 ←pが素数だから、このように言えます。なお、n=1のとき、pn-1=p0=1となります。p、p、p、…というように、指数(右上の小さな数字)が1大きくなるごとにp倍になっている、言い換えれば、指数が1小さくなるごとに1/p倍になっていることから、p=p/p=1となることがわかりますね。
1からpnまでの整数の中には、p2の倍数は、pn÷p2=pn-2個あります。
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1からpnまでの整数の中には、pn-1の倍数は、pn÷pn-1=p個あります。
1からpnまでの整数の中には、pnの倍数は、pn÷pn=1個あります。
したがって、求める回数は
  1+p+p2+・・・+pn-1 ←例えば、p2の倍数は、pの倍数とp2の倍数のところでカウントされていますが、実際、pで2回割り切れるので、ちょうどよくなりますね。
となります。
これをSとします。
  S×p=p+p2+・・・+pn-1+pn
と、Sの差を考えると、
  S×p−S=pn−1
 (p−1)×S=pn−1 ←分配法則の逆を利用しました。
P(素数)は1でないから、
  S=(pn−1)/(p−1)
となります。
したがって、(pn)!はpで(pn−1)/(p−1)回割り切れます。

東大寺学園中学校2003年算数第2問も解いてみましょう。京大の問題と同じような問題です。



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