東京大学１９９６年後期理科数学第１問（解答・解説）
（１）
番号１、２、３、・・・、ｎのそれぞれのボールに対して、Ａ、Ｂ、Ｃのどの箱に入れるかで３通りあるから、全部で３ｎ通りあります。
（２）
ｎ個のボールと２つのしきりを横１列に並べると考え、左側のしきりの左側にあるボールをＡの箱に、左側のしきりと右側のしきりの間にあるボールをＢの箱に、右側のしきりの右側にあるボールをＣの箱に入れたと考えればいいですね。
（ｎ＋２）カ所のうちしきりを置く２カ所を選べばよいから、求める場合の入れ方は全部で
（ｎ＋２）×（ｎ＋１）/（２×１） ←組み合わせですね。
＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）/２通り
あります。
（３）
（１）の箱の区別をなくした場合ですね。
１つの箱に入れる場合、（１）ではＡ、Ｂ、Ｃの３通りと数えていますが、この問題では、３/３＝１通りになります。
それ以外の場合、（１）では、（３ｎ−３）通りと数えていますが、この問題では、
（３ｎ−３）/（３×２×１） ←（箱の並べ替え方の場合の数）倍カウントしているので、それで割ればいいですね。例えば、Ａ（ｎ−２）個、Ｂ２個、Ｃ０個の場合、Ａ、Ｂ、Ｃの個数の入れ替え方が（３×２×１）通りありますね。他の場合についても同様です。結局のところ、選んで並べる場合の数を求める際、まず選び、次に並べるという方針で、（選び方の場合の数）×（並べ替え方の場合の数）＝（選んで並べる場合の数）とすることがよくありますが、これを逆算しているだけです。
＝（３ｎ−１−１）/２
通りになります。
したがって、求める場合の入れ方は全部で
１＋（３ｎ−１−１）/２
＝（３ｎ−１＋１）/２通り
あります。
（４）
（２）の箱の区別をなくし、さらにｎ＝６ｍとした場合ですね。
次の３つの場合が考えられますね。
（あ）３つの箱に入れたボールの個数がすべて同じ場合
（い）２つの箱に入れたボールの個数だけが同じ場合
（う）３つの箱に入れたボールの個数がすべて異なる場合
箱の区別をいったんつける（☆の場合とします）と、（３）のｎが６ｍの場合になるので、全部で
（６ｍ＋２）（６ｍ＋１）/２
＝（３ｍ＋１）（６ｍ＋１）
＝（３ｍ＋１）×６ｍ＋（３ｍ＋１）×１ ←分配法則を利用しました。
＝１８ｍ２＋９ｍ＋１（通り） ←分配法則を利用しました。
あります。
（あ）の場合
（２ｍ、２ｍ、２ｍ）の１通りありますが、入れ替わりは考えられないので、☆でも１通りと数えていますね。
（い）の場合
（０、３ｍ、３ｍ）、（２、３ｍ−１、３ｍ−１）、・・・、（６ｍ−２、１、１）、（６ｍ、０、０）の（３ｍ＋１）通りのうち（２ｍ、２ｍ、２ｍ）の１通りが除かれて、３ｍ通りありますが、☆の場合、個数の異なる箱の選び方が３通りあるので、３ｍ×３＝９ｍ通りと数えていますね。
（う）の場合
☆の場合は、
１８ｍ２＋９ｍ＋１−９ｍ−１
＝１８ｍ２
と数えていますが、箱の区別をなくすと、
１８ｍ２/（３×２×１） ←（箱の並べ替え方の場合の数）倍カウントしているので、それで割ればいいですね。
＝３ｍ２通り
となります。
したがって、求める場合の入れ方は全部で（３ｍ２＋３ｍ＋１）通りあります。