神戸大学1959年数学T代数、数学U文理第3問(解答・解説)


6桁の整数の左側にある3つの数字をA、右側にある3つの数字をBとします。
与えられた条件から、A×1000+BもA+Bもpで割り切れるから、その差のA×999もpで割り切れます。
これが3桁の整数Aの値にかかわらず成り立つので、pは999の約数となることが必要です。
999を素因数分解すると、999=3×3×3×37となります。 111=37×3は覚えておきましょう。
pは2桁の整数だから、3×3×3=27か37となります。
逆に、このとき、A×1000+Bがp(27、37)で割り切れるとき、A+B=A×1000+B−A×999もつねにp(27、37)で割り切れ、題意を満たしますね。
この問題をきちんとマスターできていれば、999の倍数判定法にかかわる灘中学校の問題がすぐに解けます。
(参考問題)灘中学校2003年算数1日目第7問
 6けたの整数5ABC15が999の倍数となるとき、3けたの整数ABCは[ ]である。
(略解)5AB+C15が999の倍数(999×2未満だから、999)となるから、AB=84、C=4となり、ABC=844となります。



中学受験・算数の森TOPページへ