千葉大学２０１２年前期文系数学第２問（解答・解説）
問題文の意味がわかりにくければ、ｐ＝２、ｑ＝３、ｍ＝１、ｎ＝３というような具体例を作って考えるとよいでしょう。
分母が２×２×３×３＝３６で、分子が２でも３でも割り切れない分数、つまり、分母が３６の既約分数のうち、１よりも大きく３よりも小さいものは何個ありますかという、中学入試でもよくある問題にすぎないことがわかりますね。
さて、問題を解いてみましょう。
帯分数で考えます。
整数部分は、ｍ、ｍ＋１、ｍ＋２、・・・ｎ−２、ｎ−１の（ｎ−１）−（ｍ−１）＝ｎ−ｍ通り考えられます。 ←例えば、１０から９９までの整数の個数を求める場合、１から９９までの整数の個数から、１から９までの整数の個数を引いて、９９−９＝９０個とするのと同じことです。
分数部分は分母がｐ2ｑ2で、分子が、１、２、・・・、 ｐ2ｑ2−１のうち、ｐでもｑでも割り切れないものになります。
答えには影響しないので、１からｐ2ｑ2までで考えます。 ←ｐ2ｑ2は条件を満たさないので、いったんカウントしたとしても、結局は、取り除かれるからです。〜「たしすぎ→ひく」
分子で条件を満たすものの個数は
（すべての個数）−（ｐで割り切れるものの個数）−（ｑで割り切れるものの個数）＋（ｐでもｑでも割り切れるものの個数） ←まず大雑把に考え、後で調整します。〜「ひきすぎ→たす」
＝ｐ2ｑ2−[ｐ2ｑ2/ｐ]−[ｐ2ｑ2/ｑ]＋[ｐ2ｑ2/（ｐｑ）] ←[○]は○を超えない最大の整数を表します（ガウス記号）。例えば、[２．５]＝２、[５]＝５となります。
＝ｐ2ｑ2−ｐｑ2−ｐ2ｑ＋ｐｑ
となるから、条件を満たす分数は全部で
（ｐ2ｑ2−ｐｑ2−ｐ2ｑ＋ｐｑ）（ｎ−ｍ）個
あります。
なお、答えは、因数分解を利用すると、ｐｑ（ｐ−１）（ｑ−１）（ｎ−ｍ）と整理することができます。
小学生には少しわかりにくいかもしれませんが、説明しておきます。
ｐ2ｑ2−ｐｑ2−ｐ2ｑ＋ｐｑ
＝ｐｑ（ｐｑ−ｑ−ｐ＋１） ←共通するｐｑに注目して、分配法則の逆を利用しました。３．１４×３５＋３．１４×６５＝３．１４×（３５＋６５）＝３．１４×１００＝３１４というように計算するのと同じことです。
＝ｐｑ｛（ｑ−１）ｐ−ｑ＋１｝ ←括弧の中ですが、２種類の文字ｐ、ｑを同時に扱うのは厳しいので、１つの文字（ここではｐ）だけに注目して、整理しました（分配法則の逆を利用しました）。
＝ｐｑ｛（ｑ−１）ｐ−１−（ｑ−１）＋１｝ ←引かれる数字（（ｑ−１）ｐ）と引く数字（ｑ）のそれぞれから１を引きました。差は変わりませんね。例えば、Ａ君とＢ君がそれぞれお金を持っているときに、同じ金額のものを買っても、所持金の差が変わらないのと同じことです。
＝ｐｑ｛（ｑ−１）ｐ−（ｑ−１）｝
＝ｐｑ（ｑ−１）（ｐ−１） ←共通部分の（ｑ−１）に注目して、分配法則の逆を利用しました。