京都大学2008年前期理系甲第3問・前期文系第3問(解答・解説)

図をかくと下のようになります。
京都大学2008年前期理系数学甲第3問・前期文系数学第3問(解答・解説)の図

角Aが共通で、AN:AC=AC:AM=2:1だから、三角形ANCと三角形ACMは相似(2辺の辺の比とその間の角相等)となります。 裏返し相似ですね。
相似な三角形の対応する角は等しいから、角ANC=角ACM(=○とします)となります。
また、角BCN=×とすると、三角形の外角定理により、角ABC=○+×となります。
さらに、三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形だから、角ACB=角ABC=○+×となります。
結局、
  角BCM
 =角ACB−角ACM
 =×
となり、角BCM=角BCNとなります。
なお、相似であることを示した後、辺の比に着眼して角の二等分線定理の逆に持ち込んで解くこともできます。

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