岡山大学2014年前期理系数学第1問(解答・解説)

(1)
異なるn個の整数から重複を許さず3個の整数を選べばよいから、
  n×(n−1)×(n−2)/(3×2×1) 組み合わせですね。
 =n(n−1)(n−2)/6通り
あります。
(2)
bより1大きい整数d、cより2大きい整数eを考えると、a<d<eとなり、a、d、eは1以上(n+2)以下の整数となります。 ←実際には、aは1以上n以下の整数、dは2以上(n+1)以下の整数、eは3以上(n+2)以下の整数となりますが、1以上(n+2)以下の整数から異なる3個の整数を選べば、自動的に条件を満たしますね。
これで(1)と同様の問題になりましたね。
異なる(n+2)個の整数から重複を許さず3個の整数を選べばよいから、
  (n+2)×(n+1)×n/(3×2×1)
 =(n+2)(n+1)n/6通り
あります。
(3)
bとcの大小で場合分けして考えます。
(あ)b=cのとき
a<b=cとなります。
異なるn個の整数から重複を許さず2個の整数を選べばよいから、この場合は
  n×(n−1)/(2×1)
 =n(n−1)/2通り
あります。
(い)b<cのとき
a<b<cとなります。
(1)の場合に他ならないから、この場合はn(n−1)(n−2)/6通りあります。
(う)c<bのとき
a≦c<bとなります。
aより1小さいfを考えると、f<c<bとなり、f、c、bは0以上n以下の整数となります。 ←実際には、fは0以上(n−1)以下の整数、c、bは1以上n以下の整数となりますが、0以上n以下の整数から異なる3個の整数を選べば、自動的に条件を満たしますね。
これで(1)と同様の問題になりましたね。
異なる(n+1)個の整数から重複を許さず3個の整数を選べばよいから、
  (n+1)×n×(n−1)/(3×2×1)
 =(n+1)n(n−1)/6通り
あります。
以上(あ)〜(う)より、全部で
  n(n−1)/2+n(n−1)(n−2)/6+(n+1)n(n−1)/6
 =n(n−1)/6×(3+n−2+n+1) ←分配法則の逆を利用しました。
 =n(n−1)(n+1)/3通り
あります。



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