弘前大学２０１０年前期理系数学第６問（解答・解説）
すべての並べ方から、Ｋ２個またはＵ２個が隣り合う並べ方（Ｋ２個が隣り合う並べ方＋Ｕ２個が隣り合う並べ方−Ｋ２個、Ｕ２個がともに隣り合う並べ方）を引いて求めます。 ←わかりにくければヴェン図をかきましょう。
すべての並べ方は、
７×６×５×４×３×２×１×１/２×１/２通り ←最初はあえて重複させて数えて、後で重複度で割って調整します。この場合、Ｋ２個の並べ替え方、Ｕ２個の並べ替え方でそれぞれ２倍重複してカウントしているので、重複度でわりました。
あります。
Ｋ２個が隣り合う並べ方は、Ｋ２個を１つのかたまりと考え、このかたまりとＧ、Ｏ、Ｕ、Ａ、Ｕの合計６個を並べればよいから、
６×５×４×３×２×１×１/２通り ←Ｕ２個の並べ替え方で２倍重複してカウントしているので、重複度でわりました。
あります。
Ｕ２個が隣り合う並べ方は、Ｋ２個が隣り合う並べ方同様６×５×４×３×２×１×１/２通りあります。 ←ＵとＫは条件的に同じだからです。〜条件の対等性を利用して作業を減らす！
Ｋ２個、Ｕ２個がともに隣り合う並べ方は、Ｋ２個、Ｕ２個を１つのかたまりと考え、この２つのかたまりとＧ、Ｏ、Ａの合計５個を並べればよいから、
５×４×３×２×１通り
あります。
したがって、同じ文字が隣り合わないような並べ方は
７×６×５×４×３×２×１×１/２×１/２−６×５×４×３×２×１×１/２×２＋５×４×３×２×１ ←「ひきすぎたら、たす」
＝５×４×３×２×１×（２１/２−６＋１） ←分配法則の逆を利用しました。
＝５×４×３×１１
＝６６０通り
あります。