岡山大学２０１７年前期文系数学第２問（解答・解説）
約束記号の問題です。
約束がわかりにくければ、aに具体的な値を入れて記号の意味をしっかり確認しましょう。
（１）
２ｎ＋３
＝２３×２ｎ
＝８×２ｎ
＝（７＋１）×２ｎ
＝７×２ｎ＋２ｎ ←分配法則の逆を利用しました。
７×２ｎは７の倍数だから、２ｎ＋３を７で割った余りと２ｎを７で割った余りは常に等しくなります。
（２）
（１）は、２ｎを７で割った余りが周期３で同じ繰り返しになるということですね。
２０１７
＝３×６７２＋１
だから、２２０１７を７で割った余りは２１＝２を７で割った余りと等しいから、Ｒ（２２０１７）＝２となります。
（３）
２９
＝３×９＋２
だから、２２９を７で割った余りは２２＝４を７で割った余りと等しいから、４となり、２２９＝７×○＋４（○は整数）と書けます。
また、（２）より、２２０１７は７×△＋２（△は整数）と書けます。
２２０１７ｍ＋２２９
＝（７×△＋２）×ｍ＋７×○＋４
＝７×△×ｍ＋２×ｍ＋７×○＋４ ←分配法則を利用しました。
＝７×（△×ｍ＋○）＋２×ｍ＋４
となり、△、ｍ、○は整数だから、７×（△×ｍ＋○）は７の倍数となり、２２０１７ｍ＋２２９を７で割った余りは、２×ｍ＋４を７で割った余りと等しくなり、これが５となります。 ←一応丁寧に書きましたが、小学生なら、２２０１７を７で割った余りの２で置き換え、２２９を７で割った余りの４で置き換えて終わりでしょうね。高校生なら合同式を使えば、一気にここまで来ます。
結局、２×ｍを７で割った余りは１となります。
ｍ＝０、１、２、３、４、５、６を調べると、２×ｍを７で割った余りはそれぞれ０、２、４、６、１、３、５となり、条件を満たすものは、ｍ＝４のときだとわかります。 ←ｍ＝７の代わりにあえて０を調べています。
ｍ＝７以降についても、２×ｍを７で割った余りは周期７で同様の繰り返しになるので、ｍは７で割ると４余る数となり、Ｒ（ｍ）＝４となります。
なお、２×ｍを７で割った余りが周期７で同様の繰り返しになることは、上のように式変形して示すこともできますし、合同式を利用して示すこともできます。