一橋大学２０１９年前期数学第１問（解答・解説）
問題文が抽象的なので、少し書き出してみます。 ←問題文が抽象的なときに具体化することは大切なことです。
a1＝１・・・平方数
a2＝p2・・・平方数
a3
＝a2−a1＋１３
＝p2−１＋１３
＝p2＋１２・・・平方数かどうか不明
a4
＝a3−a2＋１３
＝p2＋１２−p2＋１３
＝２５・・・平方数
a5
＝a4−a3＋１３
＝２５−（p2＋１２）＋１３
＝２６−p2・・・平方数かどうか不明
となるから、
a2＋a5＝２６
となります。
２６以下の平方数は１、４、９、１６、２５で、このうち和が２６となるのは、１と２５の組み合わせだけで、p2は１か２５のいずれかとなります。
それ以外の場合、a5は平方数ではありません。
（あ）p2＝１のとき
a3＝１３となり、平方数ではありません。
（い）p2＝２５のとき
a3＝３７となり、平方数ではありません。
したがって、a3とa5のいずれかが平方数とならないので、数列｛an｝に平方数でない項が存在します。
なお、２６−p2が０より大きくなることから、ｐ＝１、２、３、４、５の場合だけを調べればよいことがわかります。このことに着目して解いてもよいでしょう。
また、次のようにすることもできます。
p2＋１２が平方数、つまり、p2＋１２＝ｑ2とすると、
ｑ2−p2＝１２
（ｑ＋ｐ）×（ｑ−ｐ）＝１２ ←和と差の積＝２乗の差（このことは面積図を利用すれば確認できます）を利用しました。
ｑ＋ｐとｑ−ｐは１２の約数のペアとなります。
ｑ＋ｐ＞ｑ−ｐで、偶奇が一致するから、ｑ＋ｐ＝６、ｑ−ｐ＝２となります。 ←２整数の和と差の偶奇が一致することは、２数の偶奇の組合せをすべて調べればわかります。
和差算により、ｑ＝（６＋２）÷２＝４、ｐ＝４−２＝２となります。
このときだけa3は平方数になりますが、このとき
a5
＝２６−２×２
＝２２
となり、平方数となりません（以下略）。