フェリス女学院中学校９６年第５問（解答・解説）
（１）
一番小さい扇（おうぎ）形は、図１の扇形ア（赤色で囲まれた、半径１cm、中心角３０度の扇形）で、一番大きい扇形は、図１の扇形イ（半径４cmの半円）ですね。
面積を比べるために、図１の扇形ウ（黄緑色で囲まれた、半径４cm、中心角３０度の扇形）を考えてみましょう。
扇形アと扇形ウは相似で、相似比は１cm：４cm＝１：４だから、面積比は１×１：４×４となります。←「相似比 Ａ：Ｂ → 面積比 Ａ×Ａ：Ｂ×Ｂ」
また、扇形イは扇形ウの６個分だから、求める面積比（一番大きいおうぎ形の面積と、一番小さいおうぎ形の面積の比）は
４×４×６：１×１＝９６：１
となります。
（２）
中心（Ａ）と残りの２点（同じ半円周上）で扇形が決まります。残りの２点のうち「右側」の点を固定して考えて（図３の数字の書き込んでいる部分が「右側」の点となる可能性があります）、その際に残りの点（「左側」の点）が何個取れるか（これが扇形の個数に他なりません）を書き込んで行きます。
わかりにくいので、具体例で考えてみましょう。
残りの２点のうち「右側」の点をＢに固定して考えます。すると、残りの点（「左側」の点）として、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈの６点が取れる（扇形ＡＢＣ、ＡＢＤ、ＡＢＥ、ＡＢＦ、ＡＢＧ、ＡＢＨの６個ができますね）。ので、Ｂのところに６と書き込みます。
次に、残りの２点のうち「右側」の点をＣに固定して考えます。すると、残りの点（「左側」の点）として、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈの５点が取れる（扇形ＡＣＤ、ＡＣＥ、ＡＣＦ、ＡＣＧ、ＡＣＨの５個ができますね）ので、Ｃのところに５と書き込みます。
以下、順次同じ作業を繰り返すだけですね
しかも、以上の処理は、半径１cmの半円周上、半径２cmの半円周上、半径３cmの半円周上、半径４cmの半円周上すべてにおいてまったく同様にできますね。
求める個数は、
（１＋２＋３＋４＋５＋６）×４
＝（１＋６）×６×１/２×４ （★）を参照しましょう。
＝８４個
（別解）
中心（Ａ）と残りの２点（同じ半円周上）で扇形が決まります。
図２を見てください。
残りの２点の決め方は、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈの７個の点の中から２個の点の選び方に他ならないので、
（７×６）/（２×１）＝２１通り （※）を参照しましょう。
半径１cmの半円周上、半径２cmの半円周上、半径３cmの半円周上、半径４cmの半円周上すべてにおいて同様に考えることができるので、求める個数は
２１×４＝８４個
となります。
（※）組み合わせ
７個の点の中から１個目の点の選び方は７通りあり、そのそれぞれに対して、２個目の点の選び方が６通りあります（７×６通り）。ただ、組み合わせとしては同じもの（例えば、１個目Ｂで２個目Ｈと１個目Ｈで２個目Ｂ）を２×１回ずつカウントしています（２×１倍カウントしているということです）。そこで、７×６を２×１で割ればいいんですね。
（追加設問）（３）
個別の面積を求めてから、足し算するという方針では無理ですね（理論的には、可能ですが・・・）。
比で処理しましょう。
（一番小さい）扇形アの面積を[1]とします。すると、半径１cmの扇形の面積の和は、
[1]×（１×６＋２×５＋３×４＋４×３＋５×２＋６×１）
となります。 ←中心角３０度の扇形（面積は[1]（×１））は６個、中心角６０度の扇形（面積は[1]×２）は５個、中心角９０度の扇形（面積は[1]×３）は４個、中心角１２０度の扇形（面積は[1]×４）は３個、中心角１５０度の扇形（面積は[1]×５）は２個、中心角１８０度の扇形（面積は[1]×６）は１個あります（図２で考えてみればわかります）。
また、扇形アと図１の扇形エ（赤紫色で囲まれた、半径２cm、中心角３０度の扇形）と図２の扇形オ（水色で囲まれた、半径３cm、中心角３０度の扇形）と扇形ウは相似で
相似比 扇形ア：扇形エ：扇形オ：扇形ウ
＝１cm：２cm：３cm：４cm＝１：２：３：４
↓
面積比 扇形ア：扇形エ：扇形オ：扇形ウ
＝１×１：２×２：３×３：４×４
＝１：４：９：１６
だから、半径２cm、３cm、４cmの扇形の面積の和は、それぞれ
[1]×４×（１×６＋２×５＋３×４＋４×３＋５×２＋６×１）
[1]×９×（１×６＋２×５＋３×４＋４×３＋５×２＋６×１）
[1]×１６×（１×６＋２×５＋３×４＋４×３＋５×２＋６×１）
となります。
したがって、求める面積の和
[1]×（１×６＋２×５＋３×４＋４×３＋５×２＋６×１）＋[1]×４×（１×６＋２×５＋３×４＋４×３＋５×２＋６×１）＋[1]×９×（１×６＋２×５＋３×４＋４×３＋５×２＋６×１）＋[1]×１６×（１×６＋２×５＋３×４＋４×３＋５×２＋６×１）
＝[1]×（１＋４＋９＋１６）×（１×６＋２×５＋３×４＋４×３＋５×２＋６×１） 分配法則の逆を利用しました。
＝１×１×３．１４×１/１２×３０×（６＋１０＋１２）×２
扇形アの面積（[1]）
＝３．１４×１/１２×３０×２８×２
約分できますね。ただし、３０と１２の約分は６にはせずに３でとどめます（まず、１２と２８を４で約分し、次に、３（１２÷４）と３０を約分するといいでしょう）。
＝３．１４×１４０
＝３．１４×１００＋３．１４×４０
分配法則を利用しました。暗算できますね。
＝３１４＋１２５．６
＝４３９．６cm2
（★）等差数列の和を求める手法をついでに確認しておきましょう。
Ｓ＝ １＋２＋３＋４＋５＋６
＋）Ｓ＝ ６＋５＋４＋３＋２＋１
Ｓ×２＝（１＋６）×６
Ｓ＝（１＋６）×６/２＝２１
イメージ図
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