女子学院中学校２００３年算数第４問（解答・解説）
（１）
求める面積
＝（外側の面積）＋（内側の面積）
＝（もともとの立方体の表面積）－（くりぬいた四角柱の底面積）×２＋（くりぬいた四角柱の側面積）
＝２０×２０×６－１０×１０×２＋２０×（１０×４）
＝２４００－２００＋８００
＝３０００cm2
となります。
（２）（前半）
★体積を求める手法★
①直接求める～公式
柱体の体積公式（底面積×高さ）、錐体の体積公式（底面積×高さ×１/３）、応用公式（三角柱を斜めに切断したもの、直方体をななめに切断したもの等）を利用します。
②「和」で求める～分割
直接求めることができないとき、体積を求める図形を適切に分割し、体積公式が使えるようにします。
大切なのは、分割されたそれぞれの体積がともに求まるようにすることです。
分割されたそれぞれの体積を個別に求め、最後に足し算します。
③「差」で求める～復元
直接求めることができないとき、体積を求める図形に適切な図形を書き加え、体積公式が使えるようにします。大事なのは、書き加えた部分の体積・書き加えたあとの図形全体の体積がともに求まるようにすることです。最後に、書き加えた後の全体の体積から、書き加えた部分の体積を引き算します。
④「比」で求める
相似比から体積比（相似比×相似比×相似比）を求めたり、高さ、底面積の等しい図形を見つけ、そこから体積比を出したりします。
なお、①～④を併用しなければならない問題もあります。
また、図形を移動したり、等積変形を用いたりした後、①～④を利用する問題もあります。
その他、「方眼紙（ブロック）」で求めるとか「たしすぎたら、ひく（ひきすぎたら、たす）」（図形の重なりがある場合）などもあります。
（解法１）スライスして「和」で求めます。
図のように、手前から５cm、１５cmのところでスライスし、（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）の３つの部分に分割します。
図の（B）は、上下に２つに分かれていますが、合体させると、底面が１辺の長さ１０cmの正方形・高さが２０cmの四角柱（直方体）になります。その体積は
１０×１０×２０＝２０００cm3
となります。
図の（Ａ）と（Ｃ）をあわせたものは、底面が１辺の長さ２０cmの正方形・高さが１０cmの四角柱から、底面が直径１０cmの円・高さが１０cmの円柱を除いたものになります。その体積は
２０×２０×１０－１０/２×１０/２×３．１４×１０
＝４０００－１５７×５
＝４０００－７８５
＝３２１５cm3
となります。
以上より、求める体積は、
２０００＋３２１５＝５２１５cm3
となります。
（解法２）「ひきすぎたら、たす（たしすぎたら、ひく）」を利用して求めます。
本問を解く前に、次の問題を考えてみましょう。
（問題）４０人のクラスで算数のテストを行いました。問題はＡとＢの２問あって、Ａができた人は２５人、Ｂができた人は、２０人、両方ともできた人は１７人でした。両方ともできなかった人は何人ですか。
中学受験生なら、ヴェン図を（頭の中で）描いて、簡単に解けますよね。
Ａ、Ｂどちらかができた人の人数を
２５＋２０－１７ 「たしすぎたら、ひく」
＝２８人
と求めて、
４０－２８=１２人
とするか
４０－２５－２０＋１７ 「ひきすぎたら、たす」
（ただ、この式は順番通りに計算すると、小学生の範囲外になります。）
＝５７－４５（たし算を先にすれば、問題ないですよね。）
＝１２人
とするでしょう。
最初、重なりの部分を無視して大雑把（おおざっぱ）に計算（たしすぎ、ひきすぎ）し、あとで重なりの部分を調整（ひく、たす）しているんですね。
以上の解法を本問で利用します。
１辺２０cmの立方体の体積をＵ
底面が１辺の長さ１０cmの正方形・高さが２０cmの四角柱の体積をＸ
底面が直径１０cmの円・高さが２０cmの円柱の体積をＹ
くりぬいた四角柱と円柱の重なり（底面が直径１０cmの円・高さが１０cmの円柱）の体積をＺ
とします。
求める体積は、
＝Ｕ－Ｘ－Ｙ＋Ｚ
＝２０×２０×２０－１０×１０×２０－１０/２×１０/２×３．１４×２０＋１０/２×１０/２×３．１４×１０
＝８０００－２０００－１０/２×１０/２×３．１４×１０
＝８０００－２０００－１５７×５
＝６０００－７８５
＝５２１５cm3
なお、Ｕ－（Ｘ＋Ｙ－Ｚ）としても同じことですね。
（解法３）真正面から見た図で考えて解きます（真横や上下からのくりぬきを奥行きの減少としてとらえます）。
図の点線に関して対称（線対称）だから、左上の１/４のみで考えて、あとで４倍します。 対称性を利用して作業を減らす。
なお、正方形の対角線に関しても対称ですが、これを利用してもメリット（利点）がないので、利用しません。
求める体積は、図のピンクの斜線部分（底面がピンクの斜線部分の長方形・高さ（奥行き）が２０cmの四角柱）の体積の４倍と図の青斜線部分（底面が青斜線部分の図形・高さ（奥行きが２０－１０＝１０cmの柱体）の体積の４倍の和になるから、
５×１０×２０×４＋（５×１０－１０/２×１０/２×３．１４×１/４）×１０×４
＝４０００＋５００×４－１０/２×１０/２×３．１４×１/４×４ 分配法則を利用しました。
＝４０００＋２０００－１５７×５
＝５２１５cm3
（後半）
（解法１）（１）の誘導を利用します。
立体（あ）との違いをチェックします。
直径１０ｃｍの円の面積が４個減る（もともとの立方体の面上の２個、もともとの立方体の内部（くりぬいた四角柱の側面）の２個）一方で、底面が直径１０cmの円・高さが１０cmの円柱の側面積が増えています。
したがって、求める面積は、
３０００－１０/２×１０/２×３．１４×４＋１０×（１０×３．１４）
＝３０００cm2
うまく消えましたね！ 出題者に感謝！！
（解法２）誘導に気付かなければ・・・
見落としを防ぐために丁寧（ていねい）に場合を分けて考えましょう。
（ア）外側（もともとの立方体の表面上）
もともとの立方体の表面積から、１辺の長さ１０cmの正方形の面積２個分と直径１０cmの円の面積２個分をひいたものになります。
２０×２０×６－１０×１０×２－１０/２×１０/２×３．１４×２
＝２４００－２００－３１４/２
＝２２００－３１４/２（cm2） 答えではないので、あえて計算しません。
（イ－１）内側（（Ａ）と（Ｃ）の部分）
底面が直径１０cmの円、高さが１０cmの円柱の側面積になります。
１０×（１０×３．１４）＝３１４（cm2）
（イ－２）内側（（Ｂ）の部分）
底面が１辺の長さ１０cmの正方形・高さが２０cmの四角柱（直方体）の側面積から直径が１０cmの円の面積２個分を除いたものになります。
２０×（１０×４）－３１４/２
＝８００－３１４/２（cm2） 答えではないので、あえて計算しません。
以上より、求める面積は
２２００－３１４/２＋３１４＋８００－３１４/２ うまく消えますね！
＝３０００cm2
なお、途中で無闇（むやみ）に計算しないようにしましょう。
最後にまとめて計算すれば、面倒な計算が回避できるかもしれないからです。
また、同じもの（解説中の下線部分）に注目して、しなくても済む（無駄な）計算を回避しようとする姿勢も大切です。手抜きして、楽をしようということですね。算数の勉強を手抜きされると困りますが・・・(^^;)
