久留米大学附設中学校２００４年算数第２問（解答・解説）
１００番目の数を求めるのだから、周期性があるはずですね。
周期性の問題では、１周期をしっかり調べることが大切です。
（１）
１番目 ４２
２番目 ４×４＋２×２＝１６＋４＝２０
３番目 ２×２＋０×０＝４＋０＝４
４番目 ４×４＝１６
５番目 ３７ ←問題文の例と同じなので、計算するまでもないですね。
６番目 ５８ ←問題文の例と同じなので、計算するまでもないですね。
７番目 ５×５＋８×８＝２５＋６４＝８９
８番目 ８×８＋９×９＝６４＋８１＝１４５
９番目 １×１＋４×４＋５×５＝１＋１６＋２５＝４２ ←元に戻りましたね。
１０番目 ２０ ←２番目の数と同じですね。本当は不要ですが、問題文で要求されていますね。
上の結果から、８個ごとに同じ繰り返しになる（周期８）ことがわかります。
１００÷８
＝１２・・・４
だから、１００番目の数は４番目の数と同じ１６となります。
（２）
１番目 ５
２番目 ５×５＝２５
３番目 ２×２＋５×５＝４＋２５＝２９
４番目 ２×２＋９×９＝４＋８１＝８５ ←この問題の計算方法では、次の数は、５８の場合と同じですね。
５番目 ８９ ←ここからは計算する必要はありません。（１）の７番目以降を書き写すだけです。
６番目 １４５
７番目 ４２ ←（１）の１番目に戻ります。
８番目 ２０
９番目 ４
１０番目 １６
結局、次のようになります。
１番目〜４番目が５、２５、２９、８５で、以後、
８９、１４５、４２、２０、４、１６、３７、５８
の８個の数の繰り返しになります。
（１００−４）÷８
＝１２ ←（１）で計算できていますね。本当に親切な出題者ですね。(^-^)
だから、１００番目の数は、繰り返しの８番目の数５８となります。
ハッピー数の問題は他の中学でも出題されています。
（参考問題）灘中学校１９９６年１日目第４問
１９９６の各位の数１、９、９、６から、１×１＋９×９＋９×９＋６×６＝１９９、さらに、１９９から、１×１＋９×９＋９×９＝１６３というふうに新しい数を順に作って記録していく。この操作を何回か続けて行うと、ある数から先はくり返し同じ数の列が現れてくることがわかる。くり返される数の列の中で最も大きい数は[ ]である。
（解説）
１番目 １９９６
２番目 １９９ ←問題文のところで計算してありますね。
３番目 １×１＋９×９＋９×９＝１６３
４番目 １×１＋６×６＋３×３＝４６
５番目 ４×４＋６×６＝５２ ←この問題の計算方法では、次の数は、２５の場合と同じですね。以下、附設の問題の計算を利用します。
６番目 ２９
７番目 ８５
以後、８９、１４５、４２、２０、４、１６、３７、５８の繰り返しとなります。
したがって、くり返される数の列の中で最も大きい数は１４５となります。