甲陽学院中学校２０００年算数２日目第４問（解答・解説）
（１）
辺の比を求める問題です。
辺の比を求める問題では、面積比の利用または相似の利用が基本です。
この問題の場合、面積比はすぐに求まりそうにないから、相似を利用することになります。
与えられた条件（ＡＢ：ＢＤ＝２：３）を求めるもの（ＢＤ：ＤＦ）に近づけていくようにするのがポイントですね。
Ｃ、Ｅ、Ｇが１直線上にあるんだから、Ｃ、Ｅ、Ｇを直線で結んでみましょう。
すると、相似な三角形が登場しますね。
３つの正三角形が相似なのは当たり前ですが、三角形ＢＥＣと三角形ＤＧＥも相似になります。（２組の角がそれぞれ等しいから。）
三角形ＢＥＣと三角形ＤＧＥの相似比は
ＢＣ：ＤＥ
＝ＡＢ：ＢＤ 正三角形ＡＢＣとＢＤＥの相似を利用しました。
＝２：３
となります。
相似の場合、対応する辺の比が等しいから
ＢＥ：ＤＧ
＝２：３
あとは、正三角形ＢＤＥと正三角形ＤＦＧの相似を利用すればいいでしょう。
相似の場合、対応する辺の比が等しいのだから
ＢＤ：ＤＦ
＝２：３
（２）
だから、面積比は
三角形ＡＢＣ：三角形ＢＤＥ：三角形ＤＦＧ
＝４×４：６×６：９×９
＝[１６]：[３６]：[８１]
ＢＣとＤＥが平行で、ＢＣ：ＤＥ＝２：３だから
三角形ＢＥＣの面積
＝三角形ＢＤＥの面積×２/３ ←（平行線と面積比）を参照しましょう。
＝[３６]×２/３
＝[２４]
同様に、ＤＥとＦＧが平行で、ＤＥ：ＦＧ＝ＢＤ：ＤＦ＝２：３だから
三角形ＤＧＥの面積
＝三角形ＤＦＧの面積×２/３ ←（平行線と面積比）を参照しましょう。
＝[８１]×２/３
＝[５４]
となるので、
四角形ＡＦＧＣの面積
＝三角形ＡＢＣの面積＋三角形ＢＤＥの面積＋三角形ＤＦＧの面積＋三角形ＢＥＣの面積＋三角形ＤＧＥの面積
＝[１６]＋[３６]＋[８１]＋[２４]＋[５４]
＝[２１１]
[１６]が１cm2に相当するから、四角形ＡＦＧＣの面積は
１×[２１１]/ [１６] 「和」＋「比」で求める！！
＝２１１/１６cm2
なお、ＣＧとＡＦを延長した線の交点Ｈを考えて解くこともできるでしょう。
（平行線と面積比）
下の図の面積比は、いずれも「上底＋下底」の比で処理できます（長方形も平行四辺形も台形だから、左の２つですべて処理できます。また、三角形を上底０の台形と考えると、すべてを台形として処理できますね）。
面積比は
（a＋０）：（ｂ＋ｃ）：（ｄ＋ｄ）：（e＋e）
となります。
