甲陽学院中学校1999年算数2日目第3問(解答・解説)


(1)
甲陽学院中学校1999年算数2日目第3問の図1

 (求める個数)
 =(4桁(けた)の数の個数)−(各位の数がすべて異なる4桁の数の個数)
         数えすぎ  →  調整
 =4×4×4×4−4×3×2×1
 =8×(32−3) 分配法則の逆を利用しました。
 =8×(30−1)
 =240−8 分配法則を利用しました。
 =232個
なお、16×16=256を覚えていれば、単純に
 256−24=232個
と計算するほうがいいでしょう。

(別解)

樹形図を描きます(少し面倒ですが・・・)。
条件の対等性を利用することで少し楽になります。
甲陽学院中学校1999年算数2日目第3問の図2(樹形図)
        同じ色で囲んだ部分の枝の配置は同じになります。

 {4×4+(4×2+3×2)×3}×4=58×4=232個

(2)

(ア)1000台の数

 (1000台の数の個数)−(各位の数がすべて異なる1000台の数の個数)
 =1×4×4×4−1×3×2×1
 =64−6=58個 ←1、2、3、4が条件的に同じこと(対等性)を利用して、232÷4とすると楽になります。

(イ)2000台の数

 58個 ←1と2は条件的に同じ(対等性)だから、(ア)と同じになります。

(ウ)3000台の数

書き出しましょう。
  3111
    12
    13
    14
  3121
    22
    23
    24
  3131

(ア)、(イ)、(ウ)より
  58×2+4+3+1=124番目

なお、(1)で樹形図の解法を採用した場合、樹形図を読み取る(千の位が3のところと千の位が1のところの枝の配置は同じなので、完成させていなくても読み取ることができます)ことで、(2)の答えを出すこともできます。



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