神戸女学院中学部２００６年算数第５問（解答・解説）
（１）
図のような補助線（延長線）ＥＫとＢＫを引き、相似な三角形（ちょうちょ相似とピラミッド相似）を作り出します。
三角形ＪＨＫと三角形ＣＤＫは相似（相似比は、ＪＨ：ＣＤ＝４cm：８cm＝１：２）だから、
ＫＪ：ＪＣ
＝ＫＪ：（ＫＣ－ＫＪ）
＝１：（２－１）
＝１：１
となり、ＫＪ＝ＪＣ＝１０cmとなります。
ＩＪ＝４cmだから、
ＫＩ
＝１０－４
＝６cm
となります。
直角三角形ＩＦＫと直角三角形ＣＤＫは相似で、辺の比は、中：小＝ＫＣ：ＣＤ＝（１０cm＋１０cm）：８cm＝５：２だから、
ＩＦ
＝ＫＩ×２/５
＝６×２/５
＝１２/５cm
となります。
また、三角形ＡＧＤと三角形ＪＧＫは相似（相似比は、ＤＡ：ＫＪ＝１６cm：１０cm＝８：５）だから、２つの三角形の高さ（それぞれの底辺をＤＡ、ＫＪと考えた場合）の比も⑧：⑤となります。
⑧＋⑤
＝⑬
が８cmに相当するから、三角形ＪＧＫの高さは
８×⑤/⑬
＝４０/１３cm
となります。
したがって、斜線部分の面積は 「差」で求める！（復元）
三角形ＪＧＫの面積－三角形ＩＦＫの面積
＝１０×４０/１３×１/２－６×１２/５×１/２
＝５３２/６５cm2
となります。
（２）
三角形ＡＧＤと三角形ＦＧＥは相似（相似比は、ＡＤ：ＦＥ＝１６cm：４cm＝４：１）だから、２つの三角形の高さ（それぞれの底辺をＤＡ、ＦＥと考えた場合）の比も[４]：[１]となります。
[４]＋[１]
＝[５]
が８cmに相当するから、三角形ＦＧＥの高さは
８×[１]/[５]
＝８/５cm
となり、三角形ＦＧＥの面積は
４×８/５×１/２
＝１６/５cm2
となります。
再び、三角形ＡＧＤと三角形ＦＧＥが相似（相似比は４：１）であることを利用すると、
ＡＧ：ＦＧ
＝４：１
となることがわかります。
また、
ＦＧ：ＧＨ
＝三角形ＦＧＥの面積：三角形ＧＨＥの面積 ←高さ一定⇒三角形の底辺の比＝面積の比
＝１６/５：４
＝４：５
となります。
共通部分のＦＧに注目して、比合わせします。
ＡＧ：ＦＧ：ＧＨ
４： １
４： ５
１６： ４： ５
となり、
ＡＦ：ＨＦ
＝（ＡＧ＋ＦＧ）：（ＦＧ＋ＧＨ）
＝（１６＋４）：（４＋５）
＝２０：９
となります。
三角形ＡＢＦと三角形ＨＥＦは相似（相似比は、ＡＦ：ＨＦ＝２０：９）だから、
ＢＦ
＝ＥＦ×２０/９
＝４×２０/９
＝８０/９cm
となります。
したがって、ｘの値は
ＢＣ－ＢＦ
＝１６－８０/９
＝６４/９
となります。
なお、比合わせせずに、三角形（ＨＥＦ）の面積の逆算を用いてＨＥを求めて解いてもいいでしょう（直角三角形ＨＥＦと相似な直角三角形ＡＢＦの辺の比（中：小）がわかりますね）。
