神戸女学院中学部2007年算数第3問(解答・解説)

1人あたりの料金が3800円のとき(全部6人部屋のときですね)、生徒の人数が最大となり、1人あたりの料金が4000円とき(全部5人部屋のときですね)、生徒の人数は最小となります。 上限チェック・下限チェック!〜02年第6問も同様の方法で解く問題でした。
  838800/3800
 =4194/19
 =220.・・・
だから、生徒の人数は220人以下となり、また、
  838800/4000
 =209.・・・
だから、生徒の人数は210人以上となります。
この範囲の8の倍数は216だけだから、生徒の数は216人となります。 ←216(=6×6×6)が8の倍数であることはすぐにわかりますね。
結局、4000円と3800円を合計216人分集めたら、838800円となったということだから、典型的なつるかめ算の問題ですね。
最初全部4000円と考えて、4000円と3800円の交換を考えて解きます。
4000円の人数は
  (4000×216−838800)÷(4000−3800)
 =(864000−838800)÷200
 =25200÷200
 =126人
となり、3800円の人数は
  216−126
 =90人
となるから、6人部屋は
  126/6
 =21部屋
となり、5人部屋は
  90/5
 =18部屋
となります。
したがって、部屋の数は全部で
  21+18
 =39部屋
となります。
なお、次のようにして解くこともできます。 ←この解法で解く問題も過去に何回も出題されています。
5人部屋の数を□、6人部屋の数を○とします。
  4000×5×□+3800×6×○=838800
  50×□+57×○=2097 ←すべての料金が1/400になったと考えました。
条件が不足しているような感じがしますね。
そんなときは、整数条件をチェックするのが基本です。
ここでは、10で割った余りに注目します(一の位チェック!)。
50×□の一の位の数は0、2097の一の位の数は7だから、57×○の一の位の数は7となり、○の一の位の数は1となります。
○は
  2007/57<40 ←□=0の場合を考えました。上限チェック!
だから、○=1、11、21、31を調べればいいですね。
その際、50×□が50の倍数であることに注目するとよいでしょう。
  50×□+57×=2097
  2040×    1
   ↓−570  ↓+10 ←和一定に注目して計算します。
  1470×   11
   ↓−570  ↓+10
  900    21
   ↓−570  ↓+10
  330×    31
したがって、部屋の数は
  900/50+21
 =18+21
 =39部屋
となり、生徒の人数は
  5×18+6×21
 =90+126
 =216人 ←生徒の数が8の倍数という条件を満たしますね。
となります。



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