神戸女学院中学部２０１１年算数第４問（解答・解説）
何回も登場する１/３に注目すれば、次のようにグループ分けできることはすぐにわかりますね。
①１/３ １個
②１/３、１/６ ２個
③１/３、１/６、１/１２ ３個
④１/３、１/６、１/１２、１/２４ ４個
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各グループには、分子が１で、分母が３の分数を先頭として、分母が２倍ずつになっていく分数がグループの番号と同じ個数だけ並んでいますね。 ←うまく対応させることが大切です。
（１）
２１＝１＋２＋３＋４＋５＋６
だから、２１番目の分数は⑥の６個目の分数になります。
したがって、答えは
１/（３×２×２×２×２×２）
＝１/９６
となります。
（２）
２１番目から２７番目までの和は、２１番目の分数と⑥の６個の分数の和にほかなりませんね。
書き出してみると、次のようになります。
１/９６＋１/９６＋１/４８＋１/２４＋１/１２＋１/６＋１/３ ←わかりやすくするため、⑥の６個の分数は逆から書き出しました。
１/９６＝[１]とすると、求める和は、
[１]＋[１]＋[２]＋[４]＋[８]＋[１６]＋[３２]
＝[６４] ←（参考）を参照しましょう。
だから、
１/９６×[６４]/[１]
＝２/３
となります。
（３）
問題の誘導（（２）で変な和の求め方をさせていますね）を利用するために、グループを分けなおします。 ←グループ分けの数列の和の問題では、グループごとに和を求めるのが基本ですが、最初に分けたグループごとに和を求めてもうまくいきそうにありませんね。
各グループの最初の数を１つ前のグループに組み込みます。
[１]１/３、１/３ ２個 和２/３
[２]１/６、１/３、１/６ ３個 和２/３
[３]１/１２、１/３、１/６、１/１２ ４個 和２/３
[４]１/２４、１/３、１/６、１/１２、１/２４ ５個 和２/３
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[１]の最後の１/３を１/６と１/６（半分ずつですね）に分け、[２]の最初と最後に配置し、[２]の最後の１/６を１/１２と１/１２に分け、[３]の最初と最後に配置し、[３]の最後の１/１２を１/２４と１/２４に分け、[４]の最初と最後に配置し、・・・というようになっているので、分けなおした後の各グループの和が一致するのは、当然のことですね。
１０＝２/３×１５
だから、[１５]の最後の数までの和が１０となります。
[１５]の最後の数は
２＋３＋４＋５＋・・・＋１４＋１５＋１６
＝（２＋１６）/２×１５
＝１３５番目
の数だから、答えは最初から１３５番目となります。
（参考）等比数列の和の求め方について
Ｓ×２＝ ２＋４＋８＋１６＋３２＋６４
－）Ｓ ＝１＋２＋４＋８＋１６＋３２ _
Ｓ ＝６４－１＝６３
次のイメージ図も参照しましょう。
×○□□◎◎◎◎
☆☆□□◎◎◎◎
△△△△◎◎◎◎
△△△△◎◎◎◎
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１＋２＋４＋８＋１６＋３２
＝３２×２－１
＝６３