神戸女学院中学部１９９５年算数２日目第４問（解答・解説）
（１）
約数の個数を求めるのだから、素因数分解します。
３０の約数の個数は、２×２×２＝８個で、２０の約数の個数は３×２＝６個だから、 ←（注）を参照しましょう。
[３０,２０]＝８＋６＝１４
なお、（注）の知識がなければ、次のように約数を書き出して約数の個数を求めることになりますが、できれば樹形図（もしくは、表）で済ませたいところです（樹形図は最後まで完成させる必要はないでしょう）。
ペアにして書き出します！
（注）一般に、整数☆が
○ア×□イ×△ウ ←（○ア個の積）×（□イ個の積）×（△ウ個の積）
と素因数分解されるとき、☆の約数の個数は
（ア＋１）×（イ＋１）×（ウ＋１）
となります。 ←素因数の種類が増えても減っても同様です。
例えば、２４（２３×３）の約数の個数は、（３＋１）×（１＋１）＝８個となります。
このことを樹形図と表を用いて確認しておきましょう。
（樹形図）
２の使用個数は、０〜３の３＋１（通り）あり、そのそれぞれに対して、３の使用個数は、０、１の１＋１（通り）あります。したがって、約数の個数は（３＋１）×（１＋１）＝８個となります。
（表）
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２を０個
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２を１個
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２を２個
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２を３個
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３を０個
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１
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２
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４
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８
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３を１個
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３
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６
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１２
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２４
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（参考）なお、上の表の考え方を利用すると、約数の総和を計算することができます。
約数の総和は、（１＋２＋４＋８）×（１＋３）となりますね。 ←長方形の面積を求めるイメージです。素因数の種類がもう１つ増えると、直方体の体積を求めるイメージになります。洛星中学校２００５年後期算数１第２問も是非解いてみましょう。
（２）
神戸女学院定番の調べ尽くす問題ですね。
一般に、次のことが成り立ちます（（１）の（注）が理解できていればわかりますね）。
約数が１個の整数・・・１
約数が２個の整数・・・素数
約数が３個の整数・・・素数の２乗（同じ素数２個の積）
約数が奇数個の整数・・・平方数 ←本問では、不要です。
このことを利用すると、調べる手間がかなり省（はぶ）けます。
７（素数ですね）の約数の個数は２個だから、[x，７] ＝１４−xというのは、xの約数の個数が１４−x−２＝１２−x（個）ということですね。
xは整数だから、１以上です。また、約数の個数は１個以上だから、１２−xは１以上、つまり、xは１１以下となります。
あとは、調べるだけです。
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x
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約数の個数
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１２−x
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１
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１
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１１
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×
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２（素数）
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２
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１０
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×
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３（素数）
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２
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９
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×
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４（２２）
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３
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８
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×
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５（素数）
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２
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７
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×
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６（２×３）
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２×２＝４
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６
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×
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７（素数）
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２
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５
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×
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８
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４（問題文に書いてありますね）
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４
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○
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９（３２）
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３
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３
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○
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１０（２×５）
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２×２＝４
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２
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×
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１１（素数）
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２
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１
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×
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以上より、求めるxは８と９になります。
