神戸女学院中学部1997年算数1日目第3問(解答・解説)

(1)

正方形状に並んだ4つの点を結んでできる正方形の種類を数える問題です。個数ではなくて、種類であることに注意しましょう。
すぐに1+2+2+3=8種類と求めることもできますが、求め方も確認しておきましょう。
親子をセットにして数えます(水平な正方形を親、その親の辺上に4頂点を持つななめの正方形を子と呼ぶことにします)。
詳しくは、第2回チャレンジ問題を参照しましょう。

神戸女学院中学部1997年算数1日目第3問(解答・解説)の図1

(あ)親の1辺の長さが1cmの場合
子(親にきっちり含まれる斜めの正方形)はないので、1種類ですね。
因(ちな)みに、和が1となる0以上の2整数の組み合わせだけ正方形の種類があります(0−1の1通りですね)。

(い)親の1辺の長さが2cmの場合
子が1種類あるので、合計2種類ですね。
因みに、和が2となる0以上の2整数の組み合わせだけ正方形の種類があります(0−2、1−1の2通りですね)。

(う)親の1辺の長さが3cmの場合
子が1種類あるので、合計2種類ですね。
因みに、和が3となる0以上の2整数の組み合わせだけ正方形の種類があります(0−3、1−2の2通りですね)。

(え)親の1辺の長さが4cmの場合
子が2種類あるので、合計3種類ですね。
因みに、和が4となる0以上の2整数の組み合わせだけ正方形の種類があります(0−4、1−3、2−2の3通りですね)。

以上の正方形の面積はすべて異なるから、面積の異なる正方形は
 1+2+2+3=8種類
あります。

(2)

1番目に面積が大きいのは、明らかに(え)の親ですね。
2番目に面積が大きいのは、(う)の親か「(え)の子の1番大きいもの」になりますね。
  (う)の親の面積
 =3×3
 =9cm2
神戸女学院中学部1997年算数1日目第3問(解答・解説)の図2
  (え)の子の1番大きいものの面積
 =4×4−1×3×1/2×4 ←「差」で求める!!
 =10cm2
だから、大きいほうから2番目の正方形の面積は
  10cm2
となります。
大きいほうから5番目(小さいほうから4番目)は、(い)の親か(う)の子か「(え)の子の1番小さいもの」になりますね。 ←(あ)の親が1番小さく、(い)の子が2番目に小さいことは明らかですね。なお、(い)の親の1辺が(う)の子の1辺より小さいことに気づけば、(う)の子と「(え)の子の1番小さいもの」だけを比べればいいですね。
  (い)の親の面積
 =2×2
 =4cm2
神戸女学院中学部1997年算数1日目第3問(解答・解説)の図3
  (う)の子の面積
 =3×3−1×2×1/2×4 ←「差」で求める!!
 =5cm2
  (え)の子の1番小さいもの面積
 =4×4×1/2 ←直接(公式〜対角線×対角線×1/2)求める!!
 =8cm2
だから、大きいほうから5番目の正方形の面積は
  5cm2
となります。



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