神戸女学院中学部１９９７年算数２日目第５問（解答・解説）
立体をくっつけた場合の表面積の増減に関する問題です。
次の知識を利用するだけです。
表面積が一番大きくなる → 重なる面をできるだけ少なくする（細長く一列に並べる）
表面積が一番小さくなる → 重なる面をできるだけ多くする（立方体に近い形で並べる）
（１）
表面積が一番大きくなるのは、縦・横・高さが１cm・１cm・７cmの直方体の場合ですね（図は、問題文の例に挙がっている左端の図を参照しましょう（３つの立方体を横につけたすだけですね））。
したがって、表面積が一番大きいときの表面積は
１×１×２＋１×７×４
＝３０cm2
となります。
表面積が一番小さくなるのは、１辺２cmの立方体（１辺１cmの立方体８個）から１辺１cmの立方体を取り除いた立体の場合ですね。
へこんだ部分を外に押し出して考えれば、１辺２cmの立方体の表面積と変わらないですね。
したがって、表面積が一番小さいときの表面積は
２×２×６
＝２４cm2
となります。
（２）
（１）の逆のような問題ですね。
表面積が一定の場合に体積が１番大きくなるのは、１辺１cmの立方体の重なる面が１番多くなる（つまり、表面積が１番小さくなる）ようにしたときですね。
立方体に近い形にすればいいですね。
とりあえず、表面積が５４cm2の立方体がないか調べてみます。
５４÷６ ←立方体の全表面積÷面の数（６）＝立方体の１つの面の面積
＝９
＝３×３
だから、１辺３cmの立方体にすれば、体積が１番大きくなります。
このときの体積は
３×３×３
＝２７cm3
となります。
表面積が一定の場合に体積が１番小さくなるのは、１辺１cmの立方体の重なる面が１番少なくなる（つまり、表面積が１番大きくなる）ようにしたときですね。
細長く一列に並べるようにすればいいですね。
（１）の表面積が１番大きくなる場合の逆（逆算）の問題ですね。
１つの方向の最大の個数は ←１つの方向の最小の個数は当然１個ですね。
（５４−１×１×２）÷４
全表面積 両端（左右）の正方形の面積
＝１３個 ←手前の面の面積と同じ値ですね。
となります。
したがって、求める体積は
１×１×１３
＝１３cm3
となります。
