神戸海星女子学院中学校2004年算数第2問(解答・解説)


(1)
できた長方形の周囲の長さは、正方形のタイルの1辺の
  800/5
 =160個
分の長さに相当します。
  
神戸海星女子学院中学2004年算数第2問(解答・解説)の図

したがって、長方形の一番外側のタイルは
  160−4 ←例えば、縦に○枚、横に△枚(一番外側の周囲に(○+△)×2枚)のタイルが並んでいる場合、一番外側のタイルの枚数は、○+△+○+△−4=(○+△)×2−4(枚)となります。単純に1辺に並んでいるタイルの枚数を合計すると、四隅がダブるので、4枚引く必要があります。なお、「方陣算方式」で互い違いに数えて、(○−1)×2+(△−1)×2とすることもできます。
 =156枚
となります。
(2)
長方形の長いほうの辺のタイルの枚数(○とします)と短い方の辺のタイルの枚数(△とします)の和が
  160/2
 =80枚
で、積が1575枚となるように、○と△を決めればいいですね。
○と△の積の一の位が5であるから、○と△の積は5の倍数(しかも、奇数)となり、○と△の少なくとも一方は、5の倍数(しかも、奇数)となります。
また、○と△の和が5の倍数(しかも、偶数)だから、一方が5の倍数(しかも、奇数)のとき、他方も5の倍数(しかも、奇数)となります。
○と△の組み合わせとして考えられるものは、次の4通りとなります。
 (あ)○=45、△=35
 (い)○=55、△=25
 (う)○=65、△=15
 (え)○=75、△=5
1575を1600ぐらいと大雑把(おおざっぱ)に考えて見当をつければ、(あ)か(い)の場合が答えだとすぐにわかりますが、ここでは、勉強のために、倍数判定法を利用して見当をつけてみます。
1575の各位の和が9の倍数だから、1575も9の倍数となります。この条件を満たすのは、○と△の一方が9の倍数であるか、○と△の両方が3の倍数の場合(○と△の和が3の倍数ではないので、実際には、この場合はありえませんね)しかありえませんが、この条件を満たすものは(あ)の場合しかありえません。
  45×35
 =(40+5)×(40−5) ←和と差の積が2乗の差となる(フェリス女学院中学校1998年算数第6問の解説を参照)ことを利用するために、このように変形します。
 =40×40−5×5
 =1575
となるので、確かに条件を満たしますね。
したがって、長方形の長いほうの辺の長さは
  5×45
 =225cm
となります。



中学受験・算数の森TOPページへ