甲南中学校２００３年２期算数第４問（解答・解説）
規則性は、問題文（「同じ整数を３回かけた数の答えは（中略）連続する奇数の和に直すことができます。」という部分）に書いてありますね。
１×１×１＝１ ←１個の奇数（の和） １×１×１＝１を補って考えるとわかりやすいですね。
２×２×２＝３＋５ ←２個の奇数の和
３×３×３＝７＋９＋１１ ←３個の奇数の和
４×４×４＝１３＋１５＋１７＋１９ ←４個の奇数の和
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
Ｎ×Ｎ×Ｎ＝□＋・・・・・・・・・・・・・・＋○ ←Ｎ個の奇数の和
数をうまく対応させましょう。
○は
１＋２＋３＋・・・＋Ｎ（＝（１＋Ｎ）×Ｎ×１/２）（番目）
の奇数で、
□は
１＋２＋３＋・・・＋（Ｎ−１）＋１（番目）
の奇数ですね。
なお、この問題を解くにあたっては関係ありませんが、上で述べたことと下の（参考３）で述べたことから、高校で習う立方数の和の公式（３乗のシグマ公式）が得られます。
１×１×１＋２×２×２＋３×３×３＋４×４×４＋・・・＋Ｎ×Ｎ×Ｎ
＝１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＋１７＋１９＋・・・＋〇 ←１から〇までの連続する奇数（（１＋Ｎ）×Ｎ×１/２個）の和
＝｛（１＋Ｎ）×Ｎ×１/２｝×｛（１＋Ｎ）×Ｎ×１/２｝
（Ｎ＝３の場合の参考図）
○ ● ● ○ 〇 ○
● ● ● ○ 〇 ○
● ● ● ○ 〇 ○
○ 〇 ○ 〇 ○ 〇
○ 〇 ○ 〇 ○ 〇
○ 〇 ○ 〇 ○ 〇
（１）
先頭の奇数は
１＋２＋３＋・・・＋６＋１
＝（１＋６）×６×１/２＋１ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝２１＋１
＝２２番目
の奇数だから、
２２×２−１
＝４３
となります。
最後の奇数は
１＋２＋３＋・・・＋７
＝（１＋７）×７×１/２ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝２８番目 ←上の計算結果を利用して２１＋７としたほうが楽ですね。
の奇数だから、
２８×２−１
＝５５
となります。
したがって、
７×７×７＝４３＋４５＋４７＋４９＋５１＋５３＋５５
となります。
（参考１）
等差数列の和について少し確認しておきましょう。
一般に、Ｎ個の等差数列の和は
□＋・・・＋○＝（□＋○）×Ｎ×１/２
となります。
（□＋○）×Ｎ×１/２
＝（□＋○）/２×Ｎ
平均 個数
となるので、等差数列の和の公式は、総和＝平均×個数という式に他ならないことがわかりますね。
この問題は、このことを利用して解くこともできます。
（参考２）
一般に、○番目の偶数は
○×２ ←これは明らかでしょう。
となり、○番目の奇数は
○×２−１ ←奇数と偶数をペアにして考えると、○番目の奇数は、○番目の偶数の１つ前にあることがわかりますね。
となります。
（２）
（１）と全く同様にできますね。
先頭の奇数（奇数の和の中で一番小さい奇数）は
１＋２＋３＋・・・＋１９＋１
＝（１＋１９）×１９×１/２＋１ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝１９０＋１
＝１９１番目
の奇数だから、
１９１×２−１
＝３８１
となります。
最後の奇数（奇数の和の中で一番大きい奇数）は
１＋２＋３＋・・・＋２０
＝（１＋２０）×２０×１/２ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝２１０番目 ←上の計算結果を利用して１９０＋２０としたほうが楽ですね。
の奇数だから、
２１０×２−１
＝４１９
となります。
（別解）
総和＝平均×個数を利用して解きます。少し面倒かもしれませんが・・・
（１）
７×７×７は７個の奇数の和になるのだから、
７×７×７（総和）＝７×７（平均）×７（個数）
となります。
（３個の奇数の和）＋４９＋（３個の奇数の和）
あとは、４９から２をひいたりたしたりする（最大３回まで）だけですね。
７×７×７＝４３＋４５＋４７＋４９＋５１＋５３＋５５
となります。
（２）
２０×２０×２０は２０個の奇数の和になるのだから、
２０×２０×２０（総和）＝２０×２０（平均）×２０（個数）
となります。
（１）と違うのは、４００は、偶数だから、奇数の和の中にはないということです。
その前後の奇数（３９９と４０１）が４００をはさむ形であるということですね。
（１０個の奇数の和〜最大の奇数＝３９９）＋（１０個の奇数の和〜最小の奇数＝４０１）
奇数の和の中で一番小さい奇数は
３９９−２×９
＝３８１
となり、奇数の和の中で一番大きい奇数は
４０１＋２×９
＝４１９
となります。
（参考３）１から連続するｎ個の奇数の和＝ｎ×ｎ
○ 〇
１＝１×１＝１
○ ● ○ ●
● ● ● ○
１＋３＝２×２＝１＋２＋１
○ ● ○ ○ ● ○
● ● ○ ● ○ ●
○ ○ ○ ○ ● ○
１＋３＋５＝３×３＝１＋２＋３＋２＋１
○ ● ○ ● ○ ● ○ ●
● ● ○ ● ● ○ ● 〇
○ ○ ○ ● ○ ● ○ ●
● ● ● ● ● ○ ● 〇
１＋３＋５＋７＝４×４＝１＋２＋３＋４＋３＋２＋１
左側の図（１から連続する奇数の和）＝平方数（正方形の面積をイメージ）＝右側の図（斜め（正方形の１本の対角線に平行）に数えるイメージ）