大阪星光学院高等学校２００６年数学第３問（解答・解説）
各立体を「真上」から見た図（少しつぶした感じの図）で考えます。
（１）
ある特定の色を下に固定します。 ←立体的な回転を防いでいます（平面上における回転のみ起こりえます）。
あとは、図１の３カ所（側面）を残りの３色で塗り分けることになりますが、回転したときのダブりに注意する必要があります。
そこで、３色のうち特定の色を固定し、残りの２か所を２色で塗り分けることになります。 ←平面上における回転を防いでいます。
結局、塗り分け方は２通りあります。 ←いわゆる円順列として処理し、（３×２×１）/３とすることもできます（あえて重複させて考えて、重複度で割ります）。
（２）
ある特定の色を下に固定します。 ←立体的な回転を防いでいます（平面上における回転のみ起こりえます）。
それとは反対側（上）の色の塗り方で５通りあります。
あとは、図２の影をつけた４カ所を残りの４色で塗り分けることになりますが、回転したときのダブりに注意する必要があります。
そこで、４色のうち特定の色を固定し、残りの３カ所を３色で塗り分けることになります。 ←平面上における回転を防いでいます。
結局、４か所の塗り分け方は３×２×１＝６通りあります。 ←いわゆる円順列として処理し、（４×３×２×１）/４とすることもできます（あえて重複させて考えて、重複度で割ります）。
したがって、求める塗り分け方は
５×６
＝３０通り
あります。
（３）
ある特定の色を下に固定します。 ←立体的な回転を防いでいます（平面上における回転のみ起こりえます）。
それとは反対側（上）の色の塗り方で７通りあります。
次に、図３の影をつけた３カ所を塗り分けることになりますが、回転したときのダブりに注意する必要があります。
６色のうちどの３色を使うかで
（６×５×４）/（３×２×１）
＝２０通り
あり、３色のうち特定の色を固定し、残りの２か所を２色で塗り分けることになりますが、これは２通りあります。 ←平面上における回転を防いでいます。いわゆる円順列として処理し、（３×２×１）/３とすることもできます（あえて重複させて考えて、重複度で割ります）。
最後に残った３カ所を塗り分けます。
これは３×２×１＝６通りあります。 ←この部分については、平面上で回転したときのダブりがないことに注意しましょう。最後の３カ所以外の箇所との関係で回転することはできないからです。
したがって、求める塗り分け方は
７×２０×２×６
＝１６８０通り
あります。
