灘高等学校２０１４年数学第２問（解答・解説）
（１）
百の位の数字は０以外の５通りあり、そのそれぞれに対して、十の位の数字は百の位の数字以外の５通りあり、そのそれぞれに対して、一の位の数字は百の位と十の位の数字以外の４通りあるから、全部で
５×５×４
＝１００個
あります。
（２）
６個の数字を３で割った余りで３個のグループに分類します。
（あ）３で割った余りが０の数・・・０、３、６、９
（い）３で割った余りが１の数・・・１
（う）３で割った余りが２の数・・・２
３桁の整数が３で割り切れるのは、（Ｐ）同じグループから３個の数字を選んだ場合と（Ｑ）異なる３個のグループからそれぞれ１個ずつ選んだ場合になります。
（Ｐ）の場合
（あ）から３個の数字を選ぶ場合ですね。
０がある場合は最高位に使えないという制約があるので、０がある場合とそうでない場合を分けて考える必要があります。
０がない場合は、３×２×１＝６個あります。
３がない場合は、２×２×１＝４個あります。
６、９がない場合も同様にそれぞれ４個あります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
結局、この場合は６＋４×３＝１８個あります。
（Ｑ）の場合
（い）から１、（う）から２を選ぶことは確定していますね。
（あ）から０が選ばれた場合は、４個あります。
（あ）から３、６、９のいずれかが選ばれた場合は、それぞれ６個あります。
結局、この場合は４＋６×３＝２２個あります。
したがって、３桁の３の倍数は全部で
１８＋２２
＝４０個
あります。
（別解）
灘があえてやっているのかわかりませんが、６個の数字の和が３の倍数であることに着目して解きます。
選んだ３個の数の和が３の倍数のとき、残った３個の数の和も常に３の倍数になります。
そこで、０を含むほうについてまず考えます。
０のパートナーの選び方は、１、２の場合と３、６，９のうちどの２個を使うか、言い換えればどの１個をはずすかの３通りの場合の合計４通りあります。
このとき、０を含まないほうの３個の数も当然４通りあります。
上の解法同様、０を含むほうの並べ替え方は４通りあり、０を含まないほうの並べ替え方は６通りあるから、３桁の３の倍数は全部で
４×４＋４×６
＝４０個
あります。
（３）
（２）の条件を満たすもののうち偶数を数えればいいですが、奇数を数えて、（３）の答えから引くという方針で解きます。
（Ｐ）の場合
（あ）から３個の数字を選ぶ場合ですね。
０が選ばれない場合、つまり、３、６、９が選ばれた場合は、一の位の数字が３か９の２通りあり、そのそれぞれに対して、十の位の数字が一の位の数字以外の２通りあり、百の位の数字は１通りに確定するから、２×２＝４個あります。
３が選ばれない場合、つまり、０、６、９が選ばれた場合は、一の位の数字が９の１通りあり、十の位が０に確定し、百の位も６に確定するから、１個あります。
９が選ばれない場合も同様に１個あります。 ←３と９は条件的に同じだからです。〜条件の対等性を利用して作業を減らす！
６が選ばれない場合、つまり、０、３、９が選ばれた場合は、一の位の数字が３か９の２通りあり、十の位が０に確定し、百の位も１通りに確定するから、２個あります。 ←６と９は条件的に異なるので、同様に考えることはできませんね。
結局、この場合は４＋１＋１＋２＝８個あります。
（Ｑ）の場合
（い）から１、（う）から２を選ぶことは確定していますね。
（Ｐ）の場合と同様に考えれば、下のようになることがすぐにわかりますね。
０、１、２ →１個
３、１、２ →４個
６、１、２ →２個
９、１、２ →４個
結局、この場合は１＋４＋２＋４＝１１個あります。
したがって、３桁の３の倍数で奇数のものが全部で
８＋１１
＝１９個
あるから、３桁の３の倍数で偶数のもの、つまり６の倍数は全部で
４０−１９
＝２１個
あります。