灘高等学校2016年数学第3問(解答・解説)

(1)
与えられた式から、xと10−xの積は3の倍数となります。
xと(10−x)の和10は3で割り切れないから、xと10−xのどちらか一方だけが3の倍数となります。
まず、xが3の倍数となるときについて考えます。
 x 10−x y
 3  7  7
 6  4  8
 9  1  3
次に、10−xが3の倍数となるときについて考えます。
上で書き出したもののxと10−xの立場を入れ替えたものになります。
 10−x x y
  3  7 7
  6  4 8
  9  1 3
したがって、条件を満たす(x,y)は、(3,7)、(6,8)、(9,3)、(7,7)、(4,8)、(1,3)となります。
(2)
4桁の整数の上2桁の数を□(□は2桁の数)、下2桁の数を△(△は2桁以下の数)とすると、
  □×100+△=□×□+△×40
  □×100−□×□=△×39 ←(1)と同様の形に持ち込むため、両辺から□×□と△を取り除きました。
  □×(100−□)=△×39 ←分配法則の逆を利用しました。
となり、□×(100−□)は3でも13でも割り切れる数となります。
□と100−□の和100は3でも13でも割り切れないから、3の倍数となるのは□と100−□のどちらか一方だけであり、13の倍数についても同様です。
まず、□が13の倍数となるときについて考えます。 ←個数の少ない13の倍数について考えました。
□が3で割り切れるときは100−□が何であっても条件を満たします。また、□が3で割ると1余るときは100−□が3で割り切れ、条件を満たします。それに対して、□が3で割ると2余るときは100−□が3で割れず、条件を満たしません。
このことを頭に入れておきながら書き出していきます。
 □  100−□    △
 13   87  〇  29 ←△を求める際、積一定(反比例)を利用するとよいでしょう。
 26   74  ×
 39   61  〇  61
 52   48  〇  64
 65   35  ×
 78   22  〇  44
 91    9  〇  21
次に、100−□が13の倍数となるときについて考えます。
上で書き出したものの□と100−□の立場を入れ替えたものになります。
 100−□ □     △
  13  87  〇  29
  26  74  ×
  39  61  〇  61
  52  48  〇  64
  65  35  ×
  78  22  〇  44
  91   9  〇  21 ←□が1桁になってしまいますね。
したがって、条件を満たす4桁の整数は1329、3961、5264、7844、9121、8729、6161、4864、2244となります。



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