筑波大学附属駒場高等学校2015年数学第2問(解答・解説)


  40÷3
 =13・・・1
だから、A、Bの袋の中には、それぞれ
 (あ)3の倍数の数の玉が13個
 (い)3で割ると1余る数の玉が14個
 (う)3で割ると2余る数の玉が13個
あります。
(1)
すべての取り出し方は
  40×40
 =1600通り
あります。
積が3で割り切れない場合は、A、Bからともに(あ)以外の玉を取り出したときだから、その取り出し方は
  (40−13)×(40−13)
 =27×27
 =9×81
 =729通り
あります。
したがって、積が3の倍数となる取り出し方は
  1600−729
 =871通り
あります。
(2)
Aから(あ)の玉を取り出してはいけませんね。
Aから(い)の玉を取り出したとき、Bからも(い)の玉を取り出すことになります。 ←3で割ると商が〇で余りが□の数(3×〇+□)と3で割ると商が△で余りが☆の数(3×△+☆)の積を3で割ったときの余りが□×☆を3で割ったときの余りと一致することは面積図をイメージすればすぐにわかります(以下同様です)。
Aから(う)の玉を取り出したとき、Bからも(う)の玉を取り出すことになります。
したがって、積が3で割って1余る数となる取り出し方は
  14×14+13×13
 =196+169
 =365通り
あります。
(3)
積が6で割ると1余る数となる場合、必ず積が3で割ると1余る数となっているので、(3)の場合は、(2)の場合の一部となります。
そこで、(い)、(う)を6で割った余りで分類しなおします。
 (い)→(え)6で割ると1余る数の玉が7個
     (お)6で割ると4余る数の玉が7個
 (う)→(か)6で割ると2余る数の玉が7個
     (き)6で割ると5余る数の玉が6個
6で割ると1余る数は奇数だから、A、Bから(え)、(き)の玉を取り出すことになります。
Aから(え)の玉を取り出したとき、Bからも(え)の玉を取り出すことになります。
Aから(き)の玉を取り出したとき、Bからも(き)の玉を取り出すことになります。
したがって、積が6で割って1余る数となる取り出し方は
  7×7+6×6
 =49+36
 =85通り
あります。



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