筑波大学附属駒場高等学校2016年数学第2問(解答・解説)


4桁の整数のものが2004年の算数オリンピックの予選で出されていますが、それを5桁になって、親切すぎる誘導がついています。
@、Aの条件より、5桁の自然数の最大のもの(edcba)と最小のもの(abcde)の差は
  51624+31338
 =82962
となります。
(1)
82962の一万の位を見比べると、e=9、a=1となり、e−a=8となります。
(2)
百の位が9となっていることから、千の位から1繰り下がっていることがわかります。
したがって、d−b=3となります。
(3)
Aより、xの一の位の数は8+9=17の一の位の数7となります。
(4)
d−b=3を満たすd、bの組み合わせは(d,b)=(9,6)、(8,5)、(7,4)、(6,3)、(5,2)、(4,1)が考えられますが、このうち2番目に大きい数dが7未満のものは7が存在しえないことになり条件を満たしません。
また、e=9だから、9を含むものも条件を満たしません。
結局、(d,b)=(8,5)、(7,4)となります。
(d,b)=(8,5)のとき、c=7となりますが、Aより、
  x
 =31338+15789
 =47127
となり、同じ数7があるから条件を満たしません。
(d,b)=(7,4)のとき、cは4より大きく、7より小さい整数、つまり、5か6となります。
c=5のとき、Aより、
  x
 =31338+14579
 =45917
となり、条件を満たします。
c=6のとき、Aより、
  x
 =31338+14679
 =46017
となり、0があるから条件を満たしません。
したがって、5桁の自然数xは45917となります。



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