慶應義塾高等学校２０２２年数学第３問（解答・解説）
２ｎ＋１、２ｎ＋３は連続する２つの奇数ですね。
与えられた等式は、連続する２つの奇数の積に１を足すと２を何個かかけあわせた数になるということですね。
（１）
２６＝８×８＝６４で、６４−１＝６３＝７×９だから、２×ｎ＋１＝７となり、ｎ＝３となります。
（２）
次のように、小さい数で実験してみると、連続する２つの奇数の積に１を足した数が平方数になる（しかも、平方数の４倍になる）ことがわかりますね。 ←文字式を変形すれば確認できることですが、小学生の場合、規則性を発見すれば十分でしょう。
（ｎ＝０ １×３＋１＝４＝４×１×１）
ｎ＝１ ３×５＋１＝１６＝４×２×２
ｎ＝２ ５×７＋１＝３６＝４×３×３
ｎ＝３ ７×９＋１＝６４＝４×４×４
ｎ＝４ ９×１１＋１＝１００＝４×５×５
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ｎ＝〇 （〇×２＋１）×（〇×２＋３）＋１＝４×（〇＋１）×（〇＋１）
平方数が２ｍとなるのは、平方数を素因数分解したとき、偶数個の素因数２だけになる場合ですね。
（２２、）２４、２６、・・・、２１２
より、小さい方から５番目のｍは１２となり、４×（〇＋１）×（〇＋１）＝２１２となります。
結局、（〇＋１）×（〇＋１）＝２１０となり、〇＋１＝２５＝３２となるから、〇（ｎ）＝３１となります。