桐朋中学校２００８年算数第５問（解答・解説）
（１）
三角形ＡＢＰの面積 「差」で求める！（復元）
＝台形ＡＢＣＤの面積－三角形ＰＢＣの面積－三角形ＰＤＡの面積
＝（６＋１０）×９×１/２－１０×４×１/２－６×５×１/２
＝７２－２０－１５
＝３７cm2
となります。
（別解）
直接公式で求めることもできます。
辺ＡＢ上に、ＰＥと辺ＡＤが平行になるように点Ｅを取ります。
ＰＥ
＝６＋（１０－６）×（９－４）/９ ←相似を利用して求めることもできますが、ここでは、変化量（比例）に注目して求めました（詳しくは、（３）②の（別解２）を参照）。
＝７４/９cm
となるから、
三角形ＡＢＰの面積
＝ＰＥ×ＣＤ×１/２ ←この公式は、等積変形により導き出すことができます。
＝７４/９×９×１/２ ←うまく約分できますね。
＝３７cm2
となります。
（２）
①
面積の比 三角形ＡＤＰ：三角形ＢＣＰ
＝３：２
底辺の比 三角形ＡＤＰ：三角形ＢＣＰ
＝６cm：１０cm
＝３：５
だから、
高さの比 三角形ＡＤＰ（ＤＰ）：三角形ＢＣＰ（ＣＰ）
＝３/３：２/５ ←比の積・商～三角形の面積公式の逆算ですね。
＝５：２
＝⑤：②
となります。
⑤＋②
＝⑦
が９cmに相当するから、ＣＰ（②）は
９×②/⑦
＝１８/７cm
となります。
②
（１）の逆算の問題です。
次のように、三角形ＢＣＰと三角形ＡＰＤをそれぞれ２倍した長方形を考えると、つるかめ算のときの面積図が登場しますね。
あとは、左上の長方形ＢＩＧＦに注目して、面積の逆算の問題を解くだけですね。
ＣＰ
＝｛（７２－３０）×２－６×９｝÷（１０－６） ←長方形ＢＩＧＦの面積＝黄色のＬ字型の面積（（台形ＡＢＣＤの面積－三角形ＡＢＰの面積）×２）－長方形ＡＩＣＤの面積となり、ＢＩ＝ＢＣ－ＩＣ＝ＢＣ－ＡＤとなりますね。
＝１５/２cm
となります。
（別解１）
図形問題として処理しましょう。ＣＤとＡＪが平行になる（ＡＤ＝ＪＣとなる）ように、ＢＣ上に点Ｊを取ります。
図の黄緑色の面積の合計は、長方形ＡＪＣＤの面積の半分だから、
９×６×１/２
＝２７cm2
となります。
また、三角形ＰＢＣの面積と三角形ＰＤＡの面積の合計が
台形ＡＢＣＤの面積－三角形ＡＢＰの面積
＝７２－３０
＝４２cm2
だから、水色の三角形ＢＪＰの面積は
４２－２７
＝１５cm2
となります。
あとは、三角形ＢＪＰの面積の逆算をすればいいですね。
ＣＰ
＝１５×２÷（１０－６）
＝１５/２cm
となります。
（別解２）
（１）の（別解）の方針で解きます。
三角形ＡＢＰの面積の逆算により
ＰＥ
＝３０×２÷９
＝２０/３cm
となります。
ＡＢ方向 ＣＤ方向
１０cm → ６cm ９cm
（４＝１２/３cm減）
１０cm → ２０/３cm □cm
（１０/３cm減）
だから、
□
＝９×１０/１２
＝１５/２（cm）
となるから、ＣＰ＝１５/２cmとなります。
