武蔵中学校２００３年算数第２問（解答・解説）
問題文を式に表してみると、
Ａ×７＋Ｂ×３０＝９６２
となります。
ここで、範囲を絞ることを考えます。
ＡがＢより大きいことから、Ｂ×７＋Ｂ×３０＝Ｂ×３７は９６２により小さい、つまり、Ｂが
９６２÷３７ ←筆算すると、途中で２２２が出てきますね。入試では、１１１＝３７×３がよく登場します。
＝２６
より小さいことがわかります。
これでかなり範囲が絞（しぼ）れました。
ここで、７で割った余りについて考えます。
９６２÷７＝１３７・・・余り３
で、Ａ×７は７の倍数だから、Ｂ×３０を７で割った余りは３になります。
３０÷７＝４・・・余り２
だから、Ｂ×３０を７で割った余りは
（Ｂを７で割った余り）×２
を７で割った余りと等しくなります（（☆）を参照）。
０×２＝０ ×
１×２＝２ ×
２×２＝４ ×
３×２＝６ ×
４×２＝８→１ ×
５×２＝１０→３ ○
６×２＝１２→５ ×
だから、Ｂを７で割った余りが５であることがわかります。
Ｂ＜２６なので、
Ｂ＝５、５＋７＝１２、１２＋７＝１９
となりますね。
（あ）Ｂ＝５のとき
最初の式を利用してＡを求めます。
Ａ＝（９６２−５×３０）/７＝１１６
（い）Ｂ＝１２のとき
Ｂ＝５のときと比べると、Ｂ×３０の値が７×３０増えていますね。
Ａ×７＋Ｂ×３０の値は９６２で一定だから、Ａ×７の値が７×３０減る、つまり、Ａの値は７×３０/７＝３０減るはずですね。
Ａ＝１１６−３０＝８６
（う）Ｂ＝１９のとき
Ｂ＝１２のときと同様に考えられますね。
Ｂ＝１２のときと比べると、Ｂ×３０の値が７×３０増えていますね。
Ａ×７＋Ｂ×３０の値は９６２で一定だから、Ａ×７の値が７×３０減る、つまり、Ａの値は７×３０/７＝３０減るはずですね。
Ａ＝８６−３０＝５６
以上より
Ａ＝５６
｛
Ｂ＝１９
Ａ＝８６
｛
Ｂ＝１２
Ａ＝１１６
｛
Ｂ＝５
となります。
（☆）
一般に、Ｐ×ＱをＲで割ったときの余りは、（ＰをＲで割ったときの余り）×（ＱをＲで割ったときの余り）をＲで割ったときの余りと等しくなります。
ＰをＲで割ったときの商を△、余りを○、ＱをＲで割ったあときの商を▽、余りを□とします。
Ｐ＝Ｒ×△＋○
Ｑ＝Ｒ×▽＋□
上の図のような面積図を描けば、斜線部分の３つの長方形の面積が全部Ｒの倍数となることから、○×□をＲで割ったときの余りだけを考えればいいことはすぐにわかりますね。
