灘中学校２０１３年算数１日目第１１問（解答・解説）
様々な解法が考えられますが、ここでは２つの解法を紹介しておきます。
（解法１）
直角三角形ＡＢＣと直角三角形ＡＢＣを１８０度回転させた図形を図のように組み合わせます。 ←算数オリンピックの問題などでよく利用する手法です。
垂直な線ＥＦを引くと、直角三角形ＤＥＦの最も長い辺と最も短い辺の比が（５＋５）：５＝２：１となるから、この直角三角形は正三角形の半分の三角定規にほかなりませんね。
角ＥＤＦの大きさが３０度となるから、（イ）の角の大きさは１８０−３０−（１８０−９０−１５）＝７５度となります。
また、角ＤＢＥの大きさは９０−１５＝７５度で、角ＤＥＢの大きさは１８０−３０−７５＝７５度だから、三角形ＤＥＢはＥＤ＝ＢＤの二等辺三角形となるから、ＢＤの長さは１０cmとなります。 ←角ＤＥＢの大きさは、平行線の錯角が等しいことから、（イ）と等しくなりますね。
（解法２）
まず、垂直な線ＭＧを引きます。
三角形ＡＢＣと三角形ＭＢＧは相似（相似比はＡＢ：ＢＭ＝２：１）だから、ＭＧの長さは５/２cmとなります。
直角三角形ＤＭＧの最も長い辺と最も短い辺の比が５：５/２＝２：１となるから、この直角三角形は正三角形の半分の三角定規にほかなりませんね。
角ＭＤＧの大きさが３０度となるから、（イ）の角の大きさは１８０−３０−（１８０−９０−１５）＝７５度となります。
次に、垂直な線ＡＨを引きます。
三角形ＡＤＣと三角形ＡＤＨは合同だから、ＡＨの長さは５cmとなります。
三角形ＡＭＤの面積は５×５×１/２＝２５/２cm2となり、この三角形と底辺の長さと高さが等しい三角形ＢＤＭの面積も２５/２cm2となります。
あとは、先ほど求めたＭＧの長さを利用して三角形の面積の逆算を行うだけです。
ＢＤの長さは２５/２×２÷５/２＝１０cmとなります。
