灘中学校2013年算数1日目第9問(解答・解説)


正方形ABCDの面積から4個の合同な直角三角形の面積を引いて斜めの正方形の面積と求め、さらに4個の合同な直角三角形の面積を引いて求める(式だけ書いておくと、12×12×5/9×(1−3/12×4/12×1/2×4となります。「差」+「比」で求める!)などさまざまな解法が考えられますが、ここでは対称性を利用して解きます。 対称性を利用して作業を減らす!
与えられた図形は左右対称、上下対称なので、基本的に右上の1/4の部分で処理します。
灘中学校2013年算数1日目第9問(解説)の図
与えられた図形は正方形の対角線に関しても対称だから、三角形GIJの面積を求めて8倍すればいいですね。
三角形EFGと参加系EDHのピラミッド相似(相似比は、EF:ED=(12×1/3×1/2):(12×2/3)=1:4)で、DH=12×1/3=4cmだから、FG=4×1/4=1cmとなり、JG=12×1/2−1=5cmとなります。
三角形IJGと三角形IDHのちょうちょ相似(相似比は、JG:DH=5:4)に注目すると、底辺をJGと考えたときの三角形IJGの高さは12×1/2×5/(5+4)=10/3cmとなります。
したがって、三角形IJGの面積は
  5×10/3×1/2
 =25/3cm2
となり、八角形の面積は
  25/3×8
 =200/3cm2
となります。



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