灘中学校２０１５年算数１日目第１０問（解答・解説）
（１）
点Ｄを通り、辺ＢＣに平行な直線を引き、辺ＡＣとの交点をＦとします。
平行線の錯角は等しいから、角ＤＦＥ＝角ＢＣＥ＝６０度で、角ＦＣＤ＝６０度だから、三角形ＣＤＦは正三角形となり、ＤＦ＝ＣＦ＝５cmとなり、ＡＦ＝８−５＝３cmとなります。
三角形ＢＣＥと三角形ＤＦＥのちょうちょ相似に注目すると、ＣＥ：ＦＥ＝ＢＣ：ＤＦ＝３：５と求まります。
したがって、
ＥＦ
＝５×５/（３＋５）
＝２５/８cm
となり、
ＡＥ
＝３＋２５/８
＝４９/８cm
となります。
三角形ＡＥＤと三角形ＣＤＥは高さが等しく、底辺の比が
ＡＥ：ＥＣ
＝４９/８：（５−２５/８）
＝４９/８：１５/８
＝４９：１５
となるから、面積比も４９：１５となります。
三角形ＣＤＥと１辺の長さが１cmの正三角形は１つの角が６０度で、その角を挟む２辺が（１５/８cm,５cm）と（１cm,１cm）だから、面積比は
（１５/８×５）：（１×１）
＝７５：８
となります。
したがって、三角形ＡＥＤの面積は、１辺の長さが１cmの正三角形の面積の
７５/８×４９/１５
＝２４５/８倍
となります。