灘中学校２０２４年算数２日目第１問（解答・解説）
（１）
積が０となるのは、積を構成する整数の少なくとも１個が０となるときですね。
（２桁の整数）
Ａの一の位が０と確定します。十の位は１〜９の９通りあるから、２桁の整数Ａは全部で９個あります。
（３桁の整数）
Ａの十の位と一の位の少なくとも一方が０となります。
百の位は１〜９の９通りあり、そのそれぞれに対して下２桁が
１０×１０−９×９ ←すべての場合から０がない場合を取り除きました（余事象の利用）。一部余事象の利用は灘中頻出です。この程度の問題なら、余事象を使わずに１０×２−１とすれば一瞬ですが・・・
＝１９通り
あるから、３桁の整数Ａは全部で９×１９＝１７１個あります。
（２）
結果がわかっているから、逆から考えます。
Ｄは（あ）３桁の整数か（い）２桁の整数となります。 ←９×９×９＜１０００（上限チェック！）だから、Ｄが４桁以上の整数となることはありえませんね。
（あ）Ｄが３桁の整数の場合
３数の積が２となるのは、積を構成する３整数が１、１、２のときだから、Ｄは１１２、１２１、２１１となりますが、１２１（＝１１×１１）と素数２１１のとき３桁の整数Ｃはありません。
１１２＝２×５６＝２×２×２×２×７だから、積を構成する３整数の１つは７と確定し、残りは２と８または４と４となります。
３整数が７、２、８のとき、３桁の整数Ｃは３×２×１＝６個あります。
３整数が７、４、４のとき、３桁の整数Ｃは３個あります。
（い）Ｄが２桁の整数の場合
２整数の積が２となるのは、積を構成する２整数が１、２のときだから、Ｄは１２または２１となります。
３整数の積が１２となるのは、積を構成する３整数が１、２、６または１、３、４または２、２、３のときですね。
（あ）の場合と同様、３桁の整数Ｃはそれぞれ６個、６個、３個あります。
３整数の積が２１となるのは、積を構成する３整数が７、３、１のときで、３桁の整数Ｃは６個あります。
（あ）、（い）より、Ｃは全部で６＋３＋６＋６＋３＋６＝３０個あります。 ←（イ）の答え
蛇足の（ア）ですが、最も小さいものは１２６となり、最も大きいものは８７２となります。 ←使われる整数のうち最小の１と最大の８に着目すればよいでしょう。