灘中学校１９９７年算数２日目第５問（解答・解説）
（１）
１ ０ ０
↓＋８ ↓＋４ ↓＋４
９ ４ ４
東方向に８、北方向に４、上方向に４増えています。
８、４は４の倍数だから、東方向に２、北方向に１、上方向に１増えるということを４回繰り返したということですね。
したがって、求める点（格子点）は
４−１ ←植木算（両端を含まない場合）ですね。
＝３個
あります。
すべてを書き出すと、
１００×
↓＋２１１
３１１○
↓＋２１１
５２２○
↓＋２１１
７３３○
↓＋２１１
９４４×
となります。
（２）
000、900、060の３点を頂点とする長方形を考えます。
対角線で合同な２つの三角形に分けられますね。
対角線上の格子点を含む方（Ｐとします。これが求めるものですね）と含まない方（Ｑとします）に分けられると、和差算が利用できます。
000、900、060の３点を頂点とする長方形と週の内部には、番号のついた点（格子点）は全部で
（９＋１）×（６＋１）
＝７０個
あります。
ＰとＱの和が７０で、ＰとＱの差が４（対角線上の格子点の個数です）だから、求める点の個数（Ｐの個数）は
（７０＋４）÷２
＝３７個
となります。
（３）
三角錐を四角形ＯＡＢＣに平行に３つにスライス（000と003を結んだ線を均等に分けます）して考えます。 ←立体を平面の図で考えます。
（２）の図が利用できますね。
（あ）000を通り、四角形ＯＡＢＣに平行な面上
（２）で求めた３７個ですね。
（い）001を通り、四角形ＯＡＢＣに平行な面上
縦６cm、横４cmの長方形を考えて、（２）と同様にすればいいですね。
（６＋１）×（４＋１）
＝３５個
（３５＋３）÷２
＝１９個
（う）002を通り、四角形ＯＡＢＣに平行な面上
縦３cm、横２cmの長方形を考えて、（２）と同様にすればいいですね。
（３＋１）×（２＋１）
＝１２個
（１２＋２）÷２
＝７個
（え）003を通り、四角形ＯＡＢＣに平行な面上
003の１個だけですね。
以上（あ）〜（え）より、求める点の個数は
３７＋１９＋７＋１
＝６４個
となります。
（別解）
ピラミッド相似を利用して長さを求めます
上から順に６×□/９（□＝０、１、２、・・・９）となるので、機械的に処理できます。
例えば、長さが４cmの場合、格子点は
４＋１
＝５個
あり、長さが
＝１２/９
＝１＋１/３（cm）
の場合、格子点は
１＋１
＝２個
あります。
（２）
求める個数は
１×２＋２＋３×２＋４＋５×２＋６＋７
＝３７個
となります。
（３）
求める個数は
１＋（１×２＋２＋３）＋（１×２＋２＋３×２＋４＋５）＋３７
＝１＋７＋１９＋３７
＝６４個
となります。