灘中学校１９９８年算数１日目第８問（解答・解説）
有名な巡回数（ダイヤル数）に関する問題です。
（解法１）
ＡＢＣＤＥＦとＤＥＦＡＢＣの和を考えます。
ＡＢＣＤＥＦ
＋ＤＥＦＡＢＣ
９９９９９９ ←問題文の２番目の式を利用しました。
となり、
ＡＢＣＤＥＦ＋ＤＥＦＡＢＣ
＝ＡＢＣＤＥＦ＋ＡＢＣＤＥＦ×６ ←問題文の最初の式を利用しました。
＝ＡＢＣＤＥＦ×７ ←分配法則の逆を利用しました。
となるから、
ＡＢＣＤＥＦ
＝９９９９９９/７ ←約分できるはずですね。
＝１４２８５７
となります。
したがって、ＤＥＦは８５７となります。
（解法２）
ＡＢＣ、ＤＥＦをひとかたまりと考えます。
ＡＢＣ＝○、ＤＥＦ＝□とします。
問題文の最初の式より
（○×１０００＋□）×６＝□×１０００＋○
○×６０００＋□×６＝□×１０００＋○ ←分配法則を利用しました。
○×（６０００−１）＝□×（１０００−６）
となるので、 積一定⇒反比例（逆比）
○：□＝（１０００−６）：（６０００−１）
となります。
また、問題文の２番目の式より
○＋□＝９９９
となるので、ＤＥＦ（□）は
９９９×（６０００−１）/｛（１０００−６）＋（６０００−１）｝
＝９９９×５９９９/（７０００−７）
＝９９９×５９９９/｛７×（１０００−１）｝ ←分母のところで、分配法則の逆を利用しました。９９９がうまく約分できますね。
＝５９９９/７ ←約分できるはずですね。
＝８５７
となります。
（解法３）
覆面算として解きます。
問題文の最初の式を見ると、Ａ×６で繰り上がりがないので、Ａ＝１となります。
問題文の２番目の式を見ると、各位の計算で繰り上がりはありません。１以上９以下の異なる２数の和は９＋８＝１７以下で、１９となることはないからです。 ←上限チェック！
結局、Ａ＋Ｄ＝９、Ｂ＋Ｅ＝９、Ｃ＋Ｆ＝９となります。
Ａ＋Ｄ＝９でＡ＝１だから、Ｄ＝９−１＝８となります。
次に、ＤＥＦＡＢＣ（＝ＡＢＣＤＥＦ×６）は偶数なので、Ｃは偶数となります。 ←偶奇性を利用
Ｆ×６の一の位がＣで、Ｃ＋Ｆ＝９となるものを探します。 一の位チェック！
Ｃ＝２、４、６をチェック（８は使用済みですね）します。
Ｃ＝２、Ｆ＝７ ○
Ｃ＝４、Ｆ＝５ ×
Ｃ＝６、Ｆ＝３ ×
この時点で残っている数字は、３、４、５、６、９ですね。ただし、９を使うと、たし算で繰り上がりがあるので、実際には使えません。
Ｂ＋Ｅ＝９となるものは、以下の２つの場合となります。
３ ６・・・（ア）
４ ５・・・（イ）
（ア）の場合と（イ）の場合をチェックする（問題文の最初の式であてはめてみる）と、（イ）の場合しかないことがわかります。
したがって、ＤＥＦ＝８５７となります。
（参考）
一般に、
□/９＝０．□□・・・
□○/９９＝０．□○□○・・・
□○△/９９９＝０．□○△□○△・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
となります。
このことと
１/７
＝１÷７
＝０．１４２８５７１４２８５７・・・
となることから、
１/７
＝１４２８５７/９９９９９９ （＝１４２８５７/（７×１４２８５７） ）
となることがわかります。
なお、□/７（□＝１、２、３、４、５、６）の小数部分は、１、４、２、８、５、７の６個の数字がこの順で繰り返さる（どの数字から始まるかは、分子により異なります）こともしっかりおさえておきましょう。
１/７＝１４２８５７/９９９９９９＝０．１４２８５７１４２８５７・・・
２/７＝２８５７１４/９９９９９９＝０．２８５７１４２８５７１４・・・
３/７＝４２８５７１/９９９９９９＝０．４２８５７１４２８５７１・・・
４/７＝５７１４２８/９９９９９９＝０．５７１４２８５７１４２８・・・
５/７＝７１４２８５/９９９９９９＝０．７１４２８５７１４２８５・・・
６/７＝８５７１４２/９９９９９９＝０．８５７１４２８５７１４２・・・
このことは、筆算をかいてそれをよく観察すればわかります。
次のそれぞれの３式の関連性についてもぜひ考えてみましょう。
１４＋２８＋５７＝９９
１４２８５７＋２８５７１４＋５７１４２８＝９９９９９９
１/７＋２/７＋４/７＝１
１４２＋８５７＝９９９
１４２８５７＋８５７１４２＝９９９９９９
１/７＋６/７＝１
２８５＋７１４＝９９９
２８５７１４＋７１４２８５＝９９９９９９
２/７＋５/７＝１
４２８＋５７１＝９９９
４２８５７１＋５７１４２８＝９９９９９９
３/７＋４/７＝１
ホームページで巡回数（ダイヤル数）に関する大学入試問題（京都大学１９５７年数学・解析１第２問、大阪大学１９６１年理系数学第２問・文系数学第２問）を取り上げているので、ぜひ解いてみましょう。