洛南高校附属中学校２０００年算数Ｂ第１問（解答・解説）
（１）
（ア）の面積と（イ）の面積のそれぞれに三角形ＡＯＱの面積をつけたして考えます。
（ア）の面積＝（イ）の面積
（ア）の面積＋三角形ＡＯＱの面積＝（イ）の面積＋三角形ＡＯＱの面積
三角形ＡＯＰの面積＝三角形ＡＯＢの面積
だから、ＡＯとＰＢは平行になります。 ←底辺（ＡＯ）が等しく、面積も等しいから、高さも等しくなるはずですね。
結局、点ＰがＡを出発してから５秒後の角ＡＯＰの大きさは３０度になりますね。
（２）
３０度の角度を進むのに５秒かかるのだから、１５０度の角度を進むのに
５×１５０/３０ ←速さ一定⇒時間と距離（角度）は比例
＝２５秒
かかります。
Ｐの速さ（角速度）を３０/５＝６（度/秒）と求めて、１５０/６＝２５秒としてもいいでしょう。
（３）
１５秒後の角ＡＯＰは
３０×１５/５ ←速さ一定⇒時間と距離（角度）は比例
＝９０度
になります。（Ｐの速さを利用して６×１５＝９０度としてもいいでしょう。）
図を描くと、右図のようになります。
角ＱＯＢ
＝角ＡＯＢ－角ＡＯＰ
＝１５０－９０
＝６０度
角ＯＢＡ（角ＯＢＱ）
＝（１８０－１５０）/２ ←二等辺三角形ＡＯＢに注目しました。
＝１５度
だから、
角ＰＱＢ
＝角ＱＯＢ＋角ＯＢＱ ←三角形ＯＢＱに注目し、三角形の外角定理を利用しました。
＝６０＋１５
＝７５度
となります。
角ＢＡＯ
＝（１８０－１５０）/２
＝１５度
として、
角ＰＱＢ
＝角ＯＱＡ ←対頂角は等しいことを利用しました。
＝１８０－（９０＋１５）
＝７５度
としてもいいでしょう。
（３）
（１）同様、（ア）の面積と（イ）の面積のそれぞれに三角形ＡＯＱの面積をつけたして考えます。
すると、
（ア）の面積－（イ）の面積
＝直角二等辺三角形ＡＯＰの面積－三角形ＡＯＢの面積
＝１０×１０×１/２－１０×（１０×①/②）×１/２
正三角形の半分の三角定規を利用しました。
＝２５cm2
となります。
直角二等辺三角形ＡＯＰと三角形ＡＯＢは底辺が共通で、高さの比が２：１だから、面積比も２：１になりますね。
このことを利用して解いてもいいでしょう。
