洛南高校附属中学校2006年算数第7問(解答・解説)

(1) 千の位は、2、3、5の3通り、百の位、十の位、一の位も同様に3通りあるから、数字は全部で
  3×3×3×3 ←同時に起こる⇒積の法則
 =9×9
 =81個
あります。
(2)
千の位が2の数は
  1×3×3×3
=27個
あり、同様に、千の位が3の数も27個あるから、千の位が2か3の数は
  27×2 ←千の位が2、3、5の数の個数は同じ(2、3、5は条件的に同じだからです)ことに注目して、81×2/3=54としてもいいでしょう。
 =54個
あります。
あとは、書き出せばいいでしょう。
  355□・・・3個(52番目〜54番目)  □=2、3、5
  353□・・・3個(49番目〜51番目)
50番目の数は、353□の小さい(大きい)ほうから2番目の数だから、3533となります。
(3)
8の倍数であるためには、まず2の倍数であることが必要ですね。
2の倍数の一の位は2の倍数だから、一の位は2に確定します。
  □○△2
また、8の倍数であるためには、4の倍数であることが必要です。
4の倍数の下2桁は4の倍数(00も含めて4の倍数と考えます)だから、
  □○22 ×
  □○32 
  □○52 
となります。
8の倍数は、下3桁が8の倍数(000も含めて8の倍数と考えます)だから、
  □232 
  □332 ×
  □532 ×
  □252 ×
  □352 
  □552 
となり、千の位(□)は、2、3、5のどれでもいいですね。
したがって、8の倍数は
  3×3
 =9個
あります。
(4)
一の位から続けて0が並ぶ個数は、10(2×5)で割り切れる回数ですね。 2で割り切れる回数よりも5で割り切れる回数のほうが明らかに少ないので、5で割り切れる回数を考えれば足ります。
5の倍数(5で1回割り切れますね)は、一の位が0か5だから、一の位は5に確定します。 一の位が5の数は、千の位が5の数の場合同様、27個あります。
5×5=25の倍数(5で2回割り切れますね)は、下2桁が25の倍数(00も25の倍数に含めて考えます。00、25、50、75の4通りありますね)だから、下2桁は25に確定します。
  □○25
千の位は3通りあり、そのそれぞれに対して百の位も3通りあるから、下2桁が25の数は
  3×3
 =9個
あります。
5×5×5=125の倍数(5で3回割り切れますね)は、下3桁が125の倍数(000も125の倍数に含めて考えます。000、125、250、375、500、625、750、875の8通りあります)だから、2、3、5だけでできる下3桁はありませんね。 ←0を使うのはありえないので、実際は、125、125+250=375、375+250=625、625+250=875だけチェックすればいいですね。
125(5×5×5)の倍数がないので、5を4個以上かけた数の倍数がないことも明らかですね。
したがって、並んでいる数をすべてかけあわせた数が5で割り切れる回数は
  27+9
 =36回
となるので、0は一の位から続けて
  27+9
 =36個
並ぶことになります。
(参考)
実用的な倍数判定法は次の通りです。
  2の倍数→下1桁(一の位)が2の倍数(0も含む)
  3の倍数→各位の和が3の倍数
  4の倍数→下2桁が4の倍数(00も含む)
  5の倍数→下1桁(一の位)が0か5
  8の倍数→下3桁が8の倍数(000も含む)
  9の倍数→各位の和が9の倍数
 11の倍数→各位の数から1つおきにとった数の合計の差が11の倍数(0も含む)
(2の倍数、4の倍数、8の倍数、5の倍数の判定法について)
5×2=10だから、一の位を除いた部分の数は必ず2の倍数となっています。したがって、ある数が2の倍数であるためには、一の位が2の倍数であればよいことになります。5の倍数についてもまったく同様に説明できます。
25×4=100だから、下2桁の数を除いた部分の数は必ず4の倍数となっています。したがって、ある数が4の倍数であるためには、下2桁が4の倍数であればよいことになります。あまり使いませんが、25の倍数についてもまったく同様に説明できます。
125×8=1000だから、下3桁の数を除いた部分の数は必ず8の倍数となっています。したがって、ある数が8の倍数であるためには、下3桁が8の倍数であればよいことになります。あまり使いませんが、125の倍数についてもまったく同様に説明できます。
3の倍数、9の倍数、11の倍数判定法については、洛星中学校2002年後期算数2第1問の解答・解説を参照しましょう。



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