聖光学院中学校２００３年算数第３問（解答・解説）
各桁（けた）には０、１、５の３種類の数字しか現れていないので、３進法の問題ですね。
ただし、０、１、２の３種類の数字しか現れない普通の３進法とは微妙に違います。
普通の３進法 ０ １ ２
本問の３進法 ０ １ ５
また、０からはじまっていることに注意しましょう。うっかりすると、答えが１ずれてしまいます。
（１）
２７番目の数というのは、１０進数の２６ですね。
２を５に変換することをうっかり忘れないようにしましょう。
（２）
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本問
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５
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０
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１
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０
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５
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↓
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↓
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↓
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↓
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↓
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普通の３進数
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２
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０
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１
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０
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２
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３×３×３×３の位
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３×３×３の位
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３×３の位
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３の位
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１の位
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以上より、５０１０５は
２×３×３×３×３＋０×３×３×３＋１×３×３＋０×３＋２×１＋１ ←０からはじまっているので、最後に１をたす必要があります。
＝２×８１＋１×９＋２×１＋１
＝１７４
番目の数になります。
（３）
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本問
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５
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５
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５
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５
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５
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↓
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↓
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↓
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↓
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↓
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普通の３進数
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２
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２
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２
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２
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２
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３×３×３×３の位
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３×３×３の位
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３×３の位
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３の位
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１の位
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以上より、５５５５５は
２×３×３×３×３＋２×３×３×３＋２×３×３＋２×３＋２×１＋１ ←０からはじまっているので、最後に１をたす必要があります。
＝２×８１＋２×２７＋２×９＋２×３＋２×１＋１
＝２×（８１＋２７＋９＋３＋１）＋１ 分配法則の逆を利用しました。
＝２×１２１＋１ ８１と９、２７と３を組み合わせてすばやく計算しましょう。
＝２４３
番目の数になります（５５５５５以下の数が２４３個あるということですね）。
５５５５５以下の数のうち、１を含まない数というのは、それぞれの位が０か２になっている数なので、
２×２×２×２×２
＝３２個
あります。
以上より、５５５５５以下の数のうち１を含む数は
２４３−３２＝２１１個
となります。
（別解）
３進法（３進数）ということを無視して、場合の数を数えるようにしてもいいでしょう。特に、（３）は次のようにしたほうが楽でしょう。
１桁目 ０、１、５の３通り
２桁目 ０、１、５の３通り
３桁目 ０、１、５の３通り
４桁目 ０、１、５の３通り
５桁目 ０、１、５の３通り
だから、５５５５５以下の数は、３×３×３×３×３個あります。
このうち、１を含まない数は、
１桁目 ０、５の２通り
２桁目 ０、５の２通り
３桁目 ０、５の２通り
４桁目 ０、５の２通り
５桁目 ０、５の２通り
だから、２×２×２×２×２個あります。
以上より、求める数の個数は
３×３×３×３×３−２×２×２×２×２
＝２４３−３２
＝２１１個
となります。
本問の類題として、変則Ｎ進法（０あり）の問題（
麻布中学校１９９４年算数第４問）と変則Ｎ進法（０なし）の問題（洛南高校附属中学校２０１３年算数第４問）と隠れたＮ進法（変則でないもの）の問題（四天王寺中学校２００６年算数Ａ第５問）があるので、ぜひ解いてみましょう。
