聖光学院中学校２０１３年第１回算数第３問（解答・解説）
一の位は周期１０、十の位は周期８、百の位は周期７で元に戻りますね。
（１）
十の位に７が表示されるのは、８で割ると７余る数ごとで、一の位に３が表示されるのは、１０で割ると３余る数ごとになります。
８で割ると７余る数を書き出して一の位の数が３のものを探すと、最小のものが２３となることはすぐにわかりますね。
したがって、７３が初めて表示されるのは２３秒後となります。
以後、４０秒ごとに表示されることになります。 ←（３）（イ）で必要になります。
（２）
周期４０（１０と８の最小公倍数）で元に戻るから、２桁の数は４０種類できます。
十の位の平均は（１＋８）/２＝９/２、一の位の平均は（０＋９）/２＝９/２だから、２桁の数の平均は
９/２×１１
＝９９/２
となり、求める和は
９９/２×４０
＝９９×２０
＝２０００−２０ ←９９＝１００−１として分配法則を利用しました。この程度の計算であれば、暗算でできないといけませんが・・・
＝１９８０
となります。
（別解）
２桁の数が４０種類あることを求めた後は、次のようにしてもよいでしょう。
十の位は、１〜８の８個の数が４０/８＝５回ずつ登場するから、十の位の数の和は
（１＋２＋３＋・・・＋８）×５
＝（１＋８）×８×１/２×５ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝１８０
となります。
また、一の位は、０〜９の１０個の数が４０/１０＝４回ずつ登場するから、一の位の数の和は
（０＋１＋２＋３＋・・・＋９）×４
＝（０＋９）×１０×１/２×４
＝１８０
となるから、求める和は
１８０×１０＋１８０
＝１９８０
となります。
（３）
（ア）
セブンイレブンを意識した問題でしょうかね。（＾＾；）
１秒後が７１１で、再び７１１が表示されるのは、２８０（１０と８と７の最小公倍数）秒後だから、２８１秒後となります。
（イ）
百の位に７が表示されるのは、７で割ると１余る数ごと、下２桁に７３が表示されるのは４０で割ると２３秒ごとになります。
結局、７で割ると１余り、４０で割ると２３余る数の最小のものを求めればよいことになります。
４０で割ると２３余る数を書き出すと、
２３、６３、１０３、１４３、１８３、・・・ ←２３は７で割ると２余る数で、４０（７で割ると５余る数）を足すごとに７で割った余りが５増える（ただし、７以上になると７減らす）ことに着目すれば、数を書き出す必要はありません。
となり、最小のものが１８３となることがすぐにわかります。
したがって、７７３が初めて表示されるのは１８３秒後となります。