聖光学院中学校２０１８年第１回算数第２問（解答・解説）
（１）
[１２，３４]
＝（１＋２＋・・・＋１２）＋３４
＝５５＋１１＋１２＋３４ ←１から１０までの整数の和が５５となることを利用しました。
＝１１２
となるから、
[[１２，３４]，５６]
＝[１１２，５６]
＝（１＋２＋・・・＋１１２）＋５６
＝（１＋１１２）×１１２×１/２＋５６ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝１１３×５６＋５６
＝１１４×５６ ←分配法則の逆を利用しました。
＝６３８４
となります。
（２）
[Ａ，Ｂ]
＝（１＋２＋・・・＋Ａ）＋Ｂ
＝（１＋Ａ）×Ａ×１/２＋Ｂ ←等差数列の和の公式を利用しました。
で、これが２０１８となります。
Ｂが最小となるのは、（１＋Ａ）×Ａ×１/２が最大となる場合だから、（１＋Ａ）×Ａ×１/２≦２０１８、つまり（１＋Ａ）×Ａ≦４０３６を満たす最大のＡを考えればいいですね。
（１＋Ａ）×Ａはほぼ平方数だから、平方数で見当をつけます。
６０×６０＝３６００、７０×７０＝４９００だから、６０台前半の数だとわかりますね。
６４×６５＝３２×１３０＝３２００＋９６０＝４１６０＞４０３６ ←計算しやすい５の倍数と偶数の積を計算しました。
６３×６４＝４１６０−６４×２＝４０３２＜４０３６ ←６４×６５と見比べました。
したがって、求めるＢは
２０１８−４０３２×１/２
＝２
となります。
（３）
小さい数から順にＢ/Ａを調べていきます。
１＝（１）＋０→０/１
２＝（１）＋１→１/１
３＝（１＋２）＋０→０/２
４＝（１＋２）＋１→１/２
５＝（１＋２）＋２→２/２
６＝（１＋２＋３）＋０→０/３
７＝（１＋２＋３）＋１→１/３
８＝（１＋２＋３）＋２→２/３
９＝（１＋２＋３）＋３→３/３
１０＝（１＋２＋３＋４）＋０→０/４
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
１番目の三角数から２番目の三角数の手前までの２個のＢ/Ａは分母が１で、分子が０、１となっています。
２番目の三角数から３番目の三角数の手前までの３個のＢ/Ａは分母が２で、分子が０、１、２となっています。
３番目の三角数から４番目の三角数の手前までの４個のＢ/Ａは分母が３で、分子が０、１、２、３となっています。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
〇番目の三角数から（〇＋１）番目の三角数の手前までの（〇＋１）個のＢ/Ａは分母が〇で、分子が０、１、２、３、・・・、〇となっています。 ←順番、個数、分母、分子の最大のものの対応関係をおさえることが大切です。
（２）より、[Ａ，Ｂ]＝２０１８＝（１＋２＋・・・＋６３）＋２だから、求める和は
（０＋１）/１＋（０＋１＋２）/２＋（０＋１＋２＋３）/３＋・・・＋（０＋１＋２＋・・・＋６２）/６２＋（０＋１＋２）/６３ ←〇＝６２までは全部あり、６３番目の三角数（２０１５）以降の３個が半端になります。
＝２/２＋３/２＋４/２＋・・・＋６３/２＋１/２１
＝（２/２＋６３/２）×６２×１/２＋１/２１ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝２０１５/２＋１/２１
＝１００７＋１/２＋１/２１
＝１００７・２３/４２ ←・で帯分数を表しています。
となります。
（参考）三角数について
三角数とは、下の図のように、正三角形の形に点を並べたときの点の総数のことです。
〇
〇
〇 〇
〇
〇 〇
〇 〇 〇
・・・・・・
一般に、〇番目の三角数は１＋２＋３＋・・・＋〇＝（１＋〇）×〇×１/２となり、三角数を小さい順に並べると、
１，３，６，１０，１５，・・・
となります。