東海中学校2011年算数第8問(解答・解説)


3人の得点@は、それぞれ
  (11+12+13)×4×1/3
 =12×3×4×1/3 ←( )の中の和は、平均(真ん中)×個数として求めました。
 =12×4
 =48点
となります。
B君の4枚のカードは同じ数字だから、B君に配られたカードに書かれた数字は
  48/4
 =12 ←一応計算して求めましたが、3人の得点@が等しく、B君に配られた4枚のカードに書かれた数字が同じことから、B君のカードは、11、12、13の平均になることは明らかですね。
となります。
残りの11と13のカード4枚ずつがA君、C君に配られたことになりますが、2人の得点が同じだから、2人には11、13が2枚ずつ配られたになります。
結局、はじめに配ったときの様子はつぎのようになります。
 A君 11 11 13 13
 B君 12 12 12 12
 C君 11 11 13 13
(1)
特徴的なB君にまず注目します。
B君の得点@は、以下の3つの場合のいずれかになります。
(あ)12を渡して13をもらった場合(48+1=49点)
49(7×7)の約数は3個だから、得点Aは3点になります。 ←約数の個数については、神戸女学院中学部1995年2日目第4問の解答・解説を参照しましょう。
(い)12を渡して12をもらった場合(48点)
48=(2×2×2×2×3)の約数は5×2=10個だから、得点Aは10点になります。
(う)12を渡して11をもらった場合(48−1=47点)
47(素数)の約数は2個だから、得点Aは2点になります。
また、A君の得点@は、以下の5つの場合のいずれかになります。
(え)11を渡して13をもらった場合(48+2=50点)
50(2×5×5)の約数は2×3=6個だから、得点Aは6点になります。
(お)11を渡して12をもらった場合(48+1=49点)
得点Aは3点になります。
(か)11(13)を渡して11(13)をもらった場合(48点)
得点Aは10点になります。
(き)13を渡して12をもらった場合(48−1=47点)
得点Aは2点になります。
(く)13を渡して11をもらった場合(48−2=46点)
46(2×23)の約数は2×2=4個だから、得点Aは4点となります。
A君とB君の得点Aの差が7点となるのは、(あ)、(か)を組み合わせた場合(B君の得点@が48点でA君の得点@が49点の場合)か(い)、(お)を組み合わせた場合(A君の得点@が48点でB君の得点@が49点の場合)になり、いずれの場合も、C君の得点@は
  48×3−(48+49)
 =47点
になり、C君の得点Aは2点になります。
(2)
(1)同様、特徴的なB君にまず注目します。
B君の得点@は、48−2=46点以上、48+2=50点以下のいずれかになります。
46、47、48、49、50の約数の個数はそれぞれ4個、2個、10個、2個、6個となるから、得点Aの最高点が4以下であることを考慮すると、B君の得点@として可能性があるのは、46点、、47点、49点になります。
A君の得点@は、48−2×2=44点以上、48+2×2=52点以下のいずれかになります。
44(2×2×11)、45(3×3×5)、46、47、48、49、50、51(3×17)、52(2×2×13)の約数の個数はそれぞれ3×2=6個、3×2=6個、4個、2個、10個、2個、6個、2×2=4個、3×2=6個となるから、得点Aの最高点が4以下であることを考慮すると、A君の得点@として可能性があるのは、46点、47点、49点、51点となります。
C君の得点@として可能性があるのは、A君同様、46点、47点、49点、51点となります。 ←A君とC君は条件的に同じですね。〜条件の対等性を利用して作業を減らす!
得点Aの最高点が4点(4点以下という条件でないことに注意しましょう)であることを考慮すると、約数が4個の46か51が必須となることがわかります。
このことと3人の得点@の合計点が48×3点になることから、次の2つの場合が考えられます。 ←基準となる48点から何点「借金」するか「貯金」するかを考えればわかりやすいでしょう。
(P)3人の得点@が46点、49点、49点の場合
(Q)3人の得点@が46点、47点、51点の場合
3人の得点@がすべて異なることから、(P)の場合は条件を満たさず、(Q)の場合が条件を満たすことになります(例えば、A君が11と13を渡して、11と12を受け取り、B君が12を2枚渡して、11を2枚受け取り、C君が11を2枚渡して、12と13を受け取れば、実際に、(Q)の場合があります)。
したがって、3人の得点@は46点、47点、51点となります。



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