帝塚山中学校2001年英数コース算数第2問(解答・解説)

相似について
相似の頻出パターン


2つの図形が相似の場合、対応する角が等しく、対応する辺の比が一定で等しくなります。

さて、問題を解いてみましょう。

三角形ABCと三角形BDCと三角形ADBは相似です。
相似比は
  AC:BC:AB=10cm:8cm:6cm=5:4:3
面積比は
  三角形ABC:三角形BDC:三角形ADB=5×5:4×4:3×3=25:16:9
(1)
  BD=AB×4/5 ←CB×3/5としてもいいでしょう。
    =6×4/5
    =24/5cm(4と4/5cm、4.8cm)
 
帝塚山中学校2001年英数コース算数第2問(解答・解説)の図

上の解法は、相似比を直接利用しましたが、直角三角形の3辺の辺の比が大:中:小=5:4:3になることに着目して
  BD=AB×4/5(以下略)
としてもいいでしょう。

(2)
  三角形ABD(ADB)の面積
 =三角形ABCの面積×9/25 「比」で求めます。
 =8×6×1/2×9/25
 =216/25cm2(8と16/25cm2、8.64cm2) ←25×4=100を利用すると、すばやく帯分数にしたり、小数にしたりできますね。

(3)
すでに答えが出ていますね。
三角形ABD(ADB)と三角形BCD(BDC)は相似で、相似比が3:4だから、面積比は
  三角形ABD:三角形BCD
 =9:16
となります。

なお、本問は、(1)から(2)、(2)から(3)を解かせるように誘導していますが、あえて無視しました。
誘導を無視して解いたほうが楽だからです。わざわざ泥舟に乗る必要はありませんね。

出題者の考えたこと(小問の流れからの予想ですが・・・)
  BDの長さを求める。・・・(1)
   ↓
  (1)と同様にして、ADの長さを求める。→三角形ABDの面積を求める。・・・(2)
   ↓
  CDの長さを求める(CA−AD)。
   ↓
  三角形ABDと三角形BCDの面積の比を求める(三角形ABDの面積:三角形BCDの面積=AD:CD)。・・・(3)

最後の2ステップは、次のように考えたのかもしれません。

  三角形BCDの面積を求める(三角形ABCの面積−三角形ABDの面積)。
   ↓
  三角形ABDと三角形BCDの面積の比を求める。・・・(3)



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