洛星中学校２００５年後期算数２第１問（解答・解説）
２×３×４－１×２×３
＝２×３×（４－１） ←共通部分に注目し、分配法則の逆を利用しました。この程度の計算であれば、計算してしまってもできますが、規則性がわかりにくくなってしまいます。規則性を見抜くためには、小さな例を丁寧に扱うことが大切です。
＝２×３×３
だから、
２×３＝（２×３×４－１×２×３）÷３
となりますね。
他の部分も同様に考えることができますね。
２×３＋３×４＋４×５
＝（２×３×４－１×２×３）÷３
＋（３×４×５－２×３×４）÷３
＋（４×５×６－３×４×５）÷３
＝（２×３×４－１×２×３
＋３×４×５－２×３×４
＋４×５×６－３×４×５）÷３ ←分配法則の逆を利用しました。
＝（４×５×６－１×２×３）÷３ ←うまく右斜め下方向に消えますね。
＝４×５×２－１×２ ←分配法則を利用しました。
＝４０－２
＝３８
となります。
２×３＝（２×３×４－１×２×３）÷３
３×４＝（３×４×５－２×３×４）÷３
４×５＝（４×５×６－３×４×５）÷３
数字が連番で並んでいることと左辺の左側の数字が右辺の括弧の中の左端の数字と一致していることと左辺の右側の数字が右辺の括弧の中の右端の数字と一致していることに注目すれば、規則性は明らかですね。
９８×９９＝（９８×９９×１００－９７×９８×９９）÷３
９９×１００＝（９９×１００×１０１－９８×９９×１００）÷３
となり、
２×３＋３×４＋４×５＋……＋９８×９９＋９９×１００
＝（２×３×４－１×２×３）÷３
＋（３×４×５－２×３×４）÷３
＋（４×５×６－３×４×５）÷３
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
＋（９８×９９×１００－９７×９８×９９）÷３
＋（９９×１００×１０１－９８×９９×１００）÷３
＝（２×３×４－１×２×３
＋３×４×５－２×３×４
＋４×５×６－３×４×５
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
＋９８×９９×１００－９７×９８×９９
＋９９×１００×１０１－９８×９９×１００）÷３ ←分配法則の逆を利用しました。
＝（９９×１００×１０１－１×２×３）÷３ ←うまく右斜め下方向に消えますね。
＝３３×１００×１０１－１×２ ←分配法則を利用しました。
＝３３３３００－２ ←３３×１００×１０１の計算は、まず３３×１０１を計算し、その後１００倍しました。
＝３３３２９８
となります。
また、
１００×１０１＝（１００×１０１×１０２－９９×１００×１０１）÷３
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
１９９×２００＝（１９９×２００×２０１－１９８×１９９×２００）÷３
だから、
１００×１０１＋１０１×１０２＋１０２×１０３＋・・・＋１９８×１９９＋１９９×２００
＝（１００×１０１×１０２－９９×１００×１０１）÷３
＋（１０１×１０２×１０３－１００×１０１×１０２）÷３
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
＋（１９９×２００×２０１－１９８×１９９×２００）÷３
＝（１００×１０１×１０２－９９×１００×１０１
＋１０１×１０２×１０３－１００×１０１×１０２
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
＋１９９×２００×２０１－１９８×１９９×２００）÷３
＝（１９９×２００×２０１－９９×１００×１０１）÷３
＝１９９×２００×６７－３３×１００×１０１
＝２６８００００－１３４００－３３３３００ ←１９９×２００×６７は、１９９＝２００－１として分配法則を利用しました。３３×１００×１０１は上の計算が利用できますね。
＝２６８００００－３４６７００
＝２３３３３００
となります。
なお、高校で出てくる連続２整数に関するシグマ公式も次のように証明することができます。
１×２＋２×３＋３×４＋…＋○×（○＋１）
＝（１×２×３－０×１×２）÷３
＋（２×３×４－１×２×３）÷３
＋（３×４×５－２×３×４）÷３
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
＋（（○－１）×○×（○＋１）－（○－２）×（○－１）×○）÷３
＋（○×（○＋１）×（○＋２）－（○－１）×○×（○＋１））÷３
＝（１×２×３－０×１×２
＋２×３×４－１×２×３
＋３×４×５－２×３×４
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
＋（○－１）×○×（○＋１）－（○－２）×（○－１）×○
＋○×（○＋１）×（○＋２）－（○－１）×○×（○＋１））÷３
＝１/３×○×（○＋１）×（○＋２）
また、１＋２＋３＋・・・＋○＝①とすると、
①＝１ ＋２＋ ・・・ ＋○
＋）①＝○＋（○－１）・・・＋１
②＝（○＋１）×○
となり、１＋２＋３＋・・・＋○＝１/２×○×（○＋１）となるので、
１×２＋２×３＋３×４＋…＋○×（○＋１）
－１ －２ －３ －…－○
＝１×１＋２×２＋３×３＋…＋○×○
が
１/３×○×（○＋１）×（○＋２）－１/２×○×（○＋１）
＝１/６×○×（○＋１）×｛（○＋２）×２－３｝ ←分配法則の逆を利用しました。
＝１/６×○×（○＋１）×（○×２＋１）
となることがわかります。