洛星中学校2010年前期算数第3問(解答・解説)


全部[7]のカードであれば、数字の合計は7×15=105となります。
実際の数字の合計は79だから、105−79=26減らす必要があります。
そこで、次の交換を考え、数字の合計を減らします。
 (A)[7]→[2] 5減
 (B)[7]→[5] 2減
26、2が偶数だから、(A)は2回ずつ使う必要があります。 偶奇性を利用しました。
交換枚数が少なくて済む(A)をなるべく多く使えばいいですね。
(A)は最大4回しか使えないので、(A)4回(5×4=20減)、(B)は3回(2×3=6減)使えばいいですね。
したがって、[7]のカードの枚数が最大となるとき、[2]は4枚、[5]は3枚、[7]は8枚となります。
この問題は、[7]のカードの枚数が最大となる場合だけを答えればよかったので、上の解法がベストですが、すべての場合を答えるのであれば、次のように、不定方程式を解いてもよいでしょう。
(別解)
すべてのカードの数字を2減らします。
5(○枚)、3(△枚)、0(□枚)のカードが合計15枚あり、その数字の和が79−2×15=49ということですね。
  5×○+3×△+0×□=49
  5×○+3×△=49
49は5で割ると4余る数、5×○は5の倍数だから、3×△は5で割ると4余る数、つまり、一の位の数が4か9の数になります。 倍数条件を考慮しました。
あとは、△が5増えると、○が3減ることに着目して、△+○が15になるまで機械的に書き出すだけです(○は残りの枚数になります)。
 △ 3 8 13
 ○ 8 5  2
 □ 4 2  0(以下略)




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