四天王寺中学校２００３年算数Ｂ第５問（解答・解説）
（１）
Ｐが正方形を１周するのにかかる時間は
１２×４/６
＝８秒
です。この時間に、Ｑは
４×８＝３２cm
進みます。
正三角形１周が１２×３＝３６cmだから、求める点Ｑの位置は、辺ＡＢ上のＡから
３６−３２
＝４cm
のところになります。
（２）
（１）が（２）と（３）を解くための誘導になっています。四天はぐちゃぐちゃとした面倒な問題が多いのですが、この問題は非常に親切な設定になっています。出題者に感謝しましょう。（＾＾）
Ｐが正方形を１周する（８秒）ごとに、Ｑは正三角形の１周に４cm（１辺の長さの１/３）足りない距離を進みます（１辺の長さの１/３だけ「後方」になります）。これに気づけば、（２）と（３）は簡単に解けます。
（１）のしばらく後に１回目の出会いがあり、右の図のしばらく後に２回目の出会いがあるのは明らかですね。
したがって、２点Ｐ、Ｑが出発してから２回目に出会うのは
８×２＋４×２/（６＋４）
＝１６．８秒後
となります。
（３）
Ｐが正方形をＮ周したときのＱの位置を赤紫色の数字で書き込む（たとえば、Ｐが正方形を１周したとき（Ｎ＝１）のＱの位置は、赤紫色の１のところ、Ｐが正方形を３周したとき（Ｎ＝３）のＱの位置は、赤紫色の３のところです）と、右の図のようになります（図の赤紫色の点は、正三角形ＡＥＢの頂点もしくは各辺の３等分点になります）。
出会いがある場合は、丸印をつけています。
１、２、３の場合に、出会うのは明らかですね。
ＰとＱの速さの比が
６：４＝３：２ 時間一定⇒距離の比＝速さの比
だから、Ｐが１辺分の距離（４×３cm）を進む間にＱは４×２cm進むので、４、５の場合は、出会いますが、６、７、８、の場合は出会いません。 ←ＰがＡからＢまで進む間に、４、５の場合、Ｑは少なくともＢまで進みますが、６、７、８の場合、ＱがＢまで進むことはないからです。
９の場合に出会うのは明らかですね。
１０の場合に出会うのは、１の場合と同様、明らかですね。
結局、２点Ｐ、Ｑが出発してから７回目に出会うのは、Ｐが正方形を１０周した後、２点Ｐ、Ｑが合計４cm進んだときだから、
８×１０＋４/（６＋４）
＝８０．４秒後
となります。
なお、（１）が（２）と（３）の誘導になっていることに気づかなければ、２点Ｐ、Ｑがそれぞれ辺ＡＢ上にくる場合を丹念（たんねん）に調べつくすことになります。
次の設問も解いてみましょう。
（追加設問）
２点Ｐ、Ｑが出発してから１１回目に出会うのは何秒後ですか。
